专训2.4 空间几何（解析版） 试卷

专训2.4 空间几何

1．（2020·海南高三一模）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面.

（1）若点是线段的中点，求证：平面；

（2）点在线段出上且满足，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为和都为等边三角形，且有公共边，

所以.

因为为的中点，所以，，

又因为，所以平面.

（2）取的中点，连接，，由条件可得，，两两垂直.

以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.

设，则，

则点，，，，，

所以，，.

设平面的一个法向量为，

则，令，可得.

设与平面所成角为，

则.

2．（2020·全国高三其他模拟）如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，

由于四边形是平行四边形，所以是的中点．

因为是的中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）如图，取的中点，连接，，

根据和都是正三角形，得，．

又平面平面，平面平面，所以平面，于是．

以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

设，则，，，．

所以，，．

设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．

设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．

设二面角的大小为，由图易知为锐角，

则，

因此二面角的余弦值为．

3．（2020·全国高三其他模拟）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

（1）证明：；

（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点，连接，，，

因为四边形是菱形，且，

所以，且，所以为正三角形，．

因为，所以．

又，所以平面，

因为平面，所以．

（2）设，则，

所以，所以．

由（1）知，，又，，

所以，所以．

故以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，

所以，，．

设是平面的法向量，则即

取，则．

设是平面的法向量，

则即则，

取，则．

则，

由图易知二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

4．（2020·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小等于120°.

（1）在上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）在线段上存在点满足题意，为的中点；（2）.

【解析】（1）在线段上存在点满足题意，且为的中点.

如图，连接，，，

∵四边形是矩形，∴.

又，分别是，的中点，

∴，.

∵为等腰直角三角形，，为的中点，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

又平面，

∴平面平面.

故上存在中点，使得平面平面.

（2）解：由（1）可知就是二面角的平面角，

∴.

以为坐标原点，，的方向分别为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由为等腰直角三角形，，得，.

可得，，，，

∴，，，

设是平面的法向量，

则即

可取.

设直线与平面所成的角为，

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

5．（2020·海南高三期中）如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面．

（1）求证：平面

（2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点.

【解析】（1）因为，是边长为4的等边三角形，

所以，

所以是等腰直角三角形，．

又点为的中点，所以．

因为平面平面，平面平面，

所以平面．

因为，，

所以，，

所以与都是直角三角形，

故，．

又，

所以平面，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设存在，使得二面角为直二面角，易知，且．

设平面的法向量为，

则由，，

得，令，得，，

故．

设平面的法向量为，

则由，，

得，令，得，，

故．

由，得，故．

所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角．

6．（2020·梅河口市第五中学高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，为的中点，平面平面，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）为等边三角形，为的中点，所以有，又平面平面，平面平面，，所以平面（面面垂直的性质定理），又平面，所以平面平面（线面垂直的判定定理），得证.

（2）因为，，，所以

过作于点，连接，则，所以为二面角的平面角.即即为所求.

设三棱锥的高为，则有，得.

由（1）可知，为二面角的平面角，所以，则，则，所以.

由余弦定理可得：，.

在中，由余弦定理可知：，

则有，所以，同理，又，所以由余弦定理可知.

7．（2020·天津南开中学高三月考）如图，平面，，点分别为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.

由点和分别为和的中点，可得且，

因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，

所以.

（Ⅱ）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.

依题意可得，

.

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得.

，于是.

所以，二面角的正弦值为.

（Ⅲ）设，即，则.

从而.

由（Ⅱ）知平面的法向量为，

由题意，，即，

整理得，解得或，

因为所以，所以.

8．（2020·重庆巴蜀中学高三其他模拟）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且平面，是的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：连接交于，则为的中点，

又是的中点，，

又平面，平面，

平面．

（2）解：因为，又因为平面，所以，

而，因为，底面是正三角形，

所以，，代入得．

以为轴正方向，为轴正方向，过作的平行线为轴正方向建立空间直角坐标系，

所以，，，，，

因为平面，且平面，

所以，又，且，故平面．

取平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，．

因为，，所以

令，，，则．

又，所以与夹角的余弦值为，

所以二面角的余弦值为．

9．（2020·山东高三三模）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形.

（1）求证：平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为四边形为平行四边形，所以.

因为平面，所以平面，所以.

因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，

因为，平面，

所以平面.

（2）中，设，，

所以，

因为，，所以，

所以

，

当且仅当，即时，三棱锥体积的最大值为.

法一：以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，，

所以，，平面的法向量，

设平面的法向量，，

所以，即，

所以.

法二：因为，平面，平面，

所以平面，

设平面平面，则，

又，所以，

又点是平面与平面公共点，所以过点，

过点在圆内作交圆于点，则直线与重合，

所以为平面与平面的交线，

因为，，所以，

又因为平面，所以，所以，

所以为两个平面所成的锐二面角的平面角，

在中，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

10．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟）在三棱柱中，侧面底面，，且侧面为菱形.

（1）证明：平面；

（2）若，，直线与底面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，则，

因为平面平面，且为交线，，

平面，，

，，

又

平面；

（2）取的中点，连接，则面，

且，以为轴，为轴，为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，

因为四边形为平行四边形，

则，

平面的一个法向量为，

，解得，

.