2021年重庆第十八中学高一上 立体几何初步单元测试卷（含答案与解析）

这是一份2021年重庆第十八中学高一上 立体几何初步单元测试卷（含答案与解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq \f(9,4)，底面是边长为eq \r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq \r(2)，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（ ）
A．直线与直线异面B．直线与直线异面
C．直线∥平面D．直线∥平面
10．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．PB⊥AC
B．PC⊥BC
C．AC⊥平面PBC
D．平面PAC⊥平面PBC
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为[来源:学*科*网]
12．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为B．
C．是等边三角形D．二面角的平面角正切值是
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
14.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)
15．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)
16.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
18．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
20．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求三棱锥E－BCD的体积．
21．(12分)如图所示，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq \r(2)，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
2021重庆第十八中学高一上 立体几何初步单元测试卷
答案与解析
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A∈l，l⊂α⇒A∈α
答案 C
解析 若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 D
解析 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
答案 D
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
答案 D
解析 ∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.故B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.
∴AB⊄β，l⊂β.∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．
故D不一定成立．
6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq \f(9,4)，底面是边长为eq \r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案 B
解析 如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO.
S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(3)×sin 60°＝eq \f(3\r(3),4).
∴＝S△ABC×OP＝eq \f(3\r(3),4)×OP＝eq \f(9,4)，
∴OP＝eq \r(3).
又OA＝eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)×eq \f(2,3)＝1，
∴tan∠OAP＝eq \f(OP,OA)＝eq \r(3)，又0<∠OAP∴∠OAP＝eq \f(π,3).
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
答案 D
解析 因为AH⊥平面A1BD，
BD⊂平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．
因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．
8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq \r(2)，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
答案 B
解析 A错误．理由如下：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE.
若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，
于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直．所以直线AC与直线BD不垂直．
B正确．理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正确．
C错误．理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB由以上分析显然D错误．
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值[来源:Z。xx。k.Cm]
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线与平面所成角的正弦值的最大值为直线与直线所成角的余弦值最大,进而判断选项D
对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；
对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；
对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；
对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确
故选：ABD
10．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为B．
C．是等边三角形D．二面角的平面角正切值是
【答案】ABCD
【解析】作出正方形翻折后的立体几图形，再对选项进行逐个分析.
如图所示，设正方形的边长为2，
对，设三角形运动到，连接交于，连，因为，所以为正三角形，所以 异面直线与所成的角为，故正确；
对，因为，所以平面，平面，所以，故正确；
对，由选项的证明，同理可得，所以可推理得是等边三角形，故正确；
对，取的中点，连接，，
，为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，所以为二面角的平面角，
所以，故正确；
故选：.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？
解 直线MN∥平面A1BC1.
证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.
∴MN⊄平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，
连接NO1、BO1.
∵NO1綊eq \f(1,2)D1C1，MB綊eq \f(1,2)D1C1，
∴NO1綊MB.
∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1.
又∵BO1⊂平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
18．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
证明 (1)由AS＝AB，AF⊥SB，
知F为SB中点，
则EF∥AB，FG∥BC，
又EF∩FG＝F，
因此平面EFG∥平面ABC.
(2)由平面SAB⊥平面SBC，且AF⊥SB，
知AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.
又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，
又SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.
19.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．
20．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求三棱锥E－BCD的体积．
(1)证明 如图，取BC中点G，
连接AG，EG.
因为E是B1C的中点，
所以EG∥BB1，且EG＝eq \f(1,2)BB1.
由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，
所以EG綊AD，
所以四边形EGAD是平行四边形．所以ED∥AG.
又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
(2)解 因为AD∥EG，所以AD∥平面BCE，
所以VE－BCD＝VD－BEC＝VA－BCE＝VE－ABC，
由(1)知，DE∥平面ABC.
所以VE－ABC＝VD－ABC＝eq \f(1,3)AD·eq \f(1,2)BC·AG
＝eq \f(1,6)×3×6×4＝12.
21．(12分)如图所示，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
(1)证明 连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)证明 ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
(3)解 取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD.
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，
∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(1,4)AC＝eq \f(\r(2),4)a，
∴EF＝OF·tan 30°＝eq \f(\r(6),12)a，
∴OP＝2EF＝eq \f(\r(6),6)a.
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)×a2×eq \f(\r(6),6)a＝eq \f(\r(6),18)a3.
22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2eq \r(2)，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
(1)证明 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC，
又因为PC⊂平面PAC，
所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，
连接EF.
因为AC＝2eq \r(2)，
PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2eq \r(3)，EC＝eq \f(2\r(3),3)，
FC＝eq \r(2)，
从而eq \f(PC,FC)＝eq \r(6)，eq \f(AC,EC)＝eq \r(6).
因为eq \f(PC,FC)＝eq \f(AC,EC)，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.
由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以PC⊥平面BED.
(2)解 在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，
所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC.
因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，
故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，
所以底面ABCD为正方形，AD＝2，
PD＝eq \r(PA2＋AD2)＝2eq \r(2).
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝eq \r(2).
设PD与平面PBC所成的角为α，则sin α＝eq \f(d,PD)＝eq \f(1,2).
所以PD与平面PBC所成的角为30°.