山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

这是一份山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

“学情空间”2023年高二5月份质量检测
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先整理集合，再根据集合运算求
详解】，
或，
故，
故选：D
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为.
故选：A.
3. 已知事件，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率的公式即可求解.
【详解】因为，
所以,解得,
又，
所以.
故选：B.
4. 为研究变量的相关关系，收集得到如下数据：

5
6
7
8
9

9
8
6
4
3
若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断.
【详解】由题意可得：，
即样本中心点为，可得，解得，
所以，可得

5
6
7
8
9

9
8
6
4
3

9.2
7.6
6
4.4
2.8



0


所以残差为0的样本点是.
故选：C.
5. 关于实数的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三个二次之间的关系结合韦达定理可得，且，代入所求不等式运算求解即可.
【详解】由题意可得：的解为，且，
可得，解得，
则不等式，即为，
且，则，整理得，
解得或，即解集为.
故选：D.
6. 已知函数，则单调递增的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，根据单调递增有在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围，最后由充分必要性定义，即可得答案.
【详解】由且，
令，要使单调递增，即恒成立，
当时满足题设；
当，可得，则，满足题设；
综上，使单调递增，则，
A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件.
故选：B
7. 已知偶函数满足对恒成立，下列正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性比较函数值的大小.
【详解】因为为偶函数，则，
令，则，
所以为偶函数，
又，则当时，
所以在上单调递增，则，
所以，即，故A正确；
，即，
则，即，故B错误；
，即，
则，即，故C错误；
，即，
则，即，故D错误；
故选：A
8. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式以及对数函数单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故A错误；
对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故B错误；
对于选项C：因为，且在定义域内单调递增，
则，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，所以，故D错误；
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍，该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，下列说法正确的是（ ）

A. 参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多
B. 参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少
C. 若参加调查的学生总人数为300，则能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关
D. 无论参加调查的学生总人数为多少，都能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关
【答案】AC
【解析】
【分析】对AB，设该学校高二年级男生人数为，女生人数为，再计算喜欢与不喜欢徒步的男生与女生人数判断即可；对CD，计算卡方，对照表格判断即可.
【详解】对AB，设该学校高二年级男生人数为，女生人数为，
则学生中喜欢徒步的男生为，喜欢徒步的女生为，故A正确；
不喜欢徒步的男生为，不喜欢徒步的女生为，故B错误；
对C，若参加调查的学生总人数为300，则男生200人，女生100人，列联表可得：
是否喜欢徒步
性别
合计
男生
女生
喜欢
140
40
180
不喜欢
60
60
120
合计
200
100
300
则，
故能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故C正确；
对D，设该学校高二年级男生人数为，女生人数为，列联表可得：
是否喜欢徒步
性别
合计
男生
女生
喜欢



不喜欢



合计



则，不能判断与的大小关系
故不能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故D错误；
故选：AC
10. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 两份汤相邻的摆法共有种
B. 每道素菜不相邻的摆法共有种
C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法
D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用捆绑法即可判断；对于B，利用插空法即可判断；对于C，利用定序倍缩法即可判断；对于D，利用分步计数原理即可判断.
【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有种摆法；
再与其余十道菜品排列在一起，有种摆法；
所以两份汤相邻的摆法共有种，故A错误；
对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，有种摆法；
再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有种摆法；
所以每道素菜不相邻的摆法共有种，故B正确；
对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法；
其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有种不同摆法，故C正确；
对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有种方法；
再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种方法；
所以两汤不摆在首尾的摆法共有种，故D正确.
故选：BCD.
11. 某大学文学院有两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室的概率为；他第二天去自习室的概率为；如果他第一天去自习室，则第二天去自习室的概率为.下列说法正确的是（ ）
A. 小王两天都去自习室的概率为
B. 小王两天都去自习室的概率为
C. 小王两天去不同自习室的概率为
D. 如果他第二天去自习室，则第一天去自习室的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据条件概率公式及独立事件概率公式计算即可判断.
【详解】设小王第一天去自习室A的事件为，第二天去自习室A的事件为，
设小王第一天去自习室的事件为，第二天去自习室的事件为，
由题意，，，
又，所以，
则，所以B正确；
因为，所以，所以A错误；
设小王两天去不同自习室的事件为C，
则，所以C正确；
，所以D错误；
故选：BC
12. 在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 恒成立
C. ，
D ，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】通过计算和即可判断A；求出和的值域，即可判断B；首先判断函数的单调性，再设，，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断C；不妨设，由在上单调递增，得出，即可判断D．
【详解】对于A：，，
，


，
所以，故A正确；
对于B：设，则，
则，
，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以，故B错误；
对于C：因为，
所以在上单调递增，
设，，
则，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，，故C正确；
对于D：不妨设，则，
由C得，，在上单调递增，且，
又因为，即为上奇函数，
所以在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
所以，
即，
所以，故D正确，
故选：ACD．
第Ⅱ卷（60分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 求函数在上的最大值_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由得出在上单调递增，即可得出最大值．
【详解】，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以，
故答案为：．
14. 在的展开式中，若按的升幂进行排列，则第3项为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，展开计算的系数即可.
【详解】由，可得按的升幂进行排列分别为常数项，的项和的项，故第3项为含的项.
其中的项为.
故答案为：
15. 一个盒子中有个大小相同的小球，其中个红球，个白球，从中随机有放回的抽出个球作为样本，用表示样本中红球的个数，则样本中红球的比例与总体中红球的比例之差的绝对值不超过的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，根据二项分布的概率公式求出，，依题意可得，从而得到或，则所求概率.
【详解】有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且每次试验之间的结果是独立的，
所以，则，，
又总体中红球的比例为，则，解得，即或，
所以样本中红球的比例与总体中红球的比例之差的绝对值不超过的概率.
故答案为：
16. 用红、橙、黄、绿四种颜色给图中的正方体展开图的六个区域涂色，要求展开后相邻区域的颜色以及还原回正方体后的相邻面所涂颜色均不同，共有_________种不同的涂色方法．

【答案】96
【解析】
【分析】依题意可得正方体三组对面中至少有两组必须分别涂上相同的颜色，分情况分别计算即可.
【详解】如图，还原回正方体后，、为正方体前后两个对面，、为左右两个对面，、为上下两个对面，

依题意，正方体三组对面中至少有两组必须分别涂上相同的颜色，
当三组对面中有两组颜色分别相同时，共有种不同的涂色方法；
当三组对面颜色分别相同时，共有种不同的涂色方法.
综上所述，共有72+24=96种不同的涂色方法.
故答案为：96
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．
（1）求展开式中各项系数之和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中的有理项．
【答案】（1）0 （2）
（3）有理项为，，
【解析】
【分析】（1）根据题意结合组合数的性质可得，令，即可得各项系数之和；
（2）根据组合数的性质当时，二项式系数最大，结合展开式的通项公式运算求解；
（3）结合展开式的通项公式运算求解，令，运算求解.
【小问1详解】
依题意，由组合数的性质得，
令，得展开式中各项系数之和为.
【小问2详解】
因为二项式的展开式的通项为，
因为，
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.
【小问3详解】
由（2）可得：二项式的展开式的通项为，
令，得，
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述：二项式展开式中的有理项为，，
18. 今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下：
服务人员增量x/人
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y/万元
13
22
31
42
50
56
58
据此，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为；
模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：，，，，其中，
（1）根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）；
（2）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．
回归模型
模型①
模型②
回归方程



182.4
79.2
附：样本的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数
【答案】（1）＝21.3－14.4
（2）模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，92.1万元．
【解析】
【分析】（1）令，则，然后根据表中的数据和公式可求出模型②中y关于x的经验回归方程；
（2）由表中的数据和样本回归效果的决定系数可判断回归模型②刻画的拟合效果更好，再根据模型②的回归方程可预测服务人员增加25人时的年收益增量．
【小问1详解】
令，则. 由参考数据得

＝＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，
所以，模型②中y关于x的经验回归方程为＝21.3－14.4．
【小问2详解】
由表格中的数据，有182.4＞79.2，即，
模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好
当x＝25时，模型②的收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元)．
所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元．
19. 针对“中学生追星问题”，某校团委正在对“性别与中学生追星是否有关”做相关研究．现从本校随机抽取100名学生进行调查，得到下表：
是否追星
性别
合计
男生
女生
追星
45

70
不追星

20

合计


100

（1）请将上述列联表补充完整，并依据的独立性检验，能否认为性别与中学生追星有关联？
（2）根据是否追星，在样本的女生中，按照分层抽样的方法抽取9人作为研究小组．为了更详细地了解情况，再从研究小组中随机抽取4人，求抽到追星人数的分布列及数学期望．
参考公式：
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

0.050
0.025
0.010
0.001

3.8410
5.024
6.635
10.828

【答案】（1）表格见解析，有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）补充列联表，再计算卡方对比表格判断即可；
（2）由题意可知，可能取值为0，1，2，3，4，再求解分布列计算数学期望即可.
【小问1详解】
列联表补充为
是否追星
性别
合计
男性
女性
追星
45
25
70
不追星
10
20
30
合计
55
45
100
零假设性别与中学生追星无关联.
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与中学生追星有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
由题意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.
由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4.
，，
，，
，
的分布列为

0
1
2
3
4







20. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时,，
所以.
【小问2详解】
当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
21. 为提高学生运动的积极性，某校拟在六月初进行高二年级班级篮球赛.体育教师随机记录了高二三班体育委员小杨在五月份中“定点投篮”训练中的成绩.小杨每天进行投篮训练100次，每次投篮命中得1分，否则不得分，且每次命中结果互不影响.得到如下频率分布直方图．

（1）①求小杨在五月份“定点投篮”训练成绩样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）
②若小杨在五月份“定点投篮”训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；
（2）为进一步激发小杨的训练斗志，体育老师特安排二班体育委员小王与其进行比赛.两人分别连续投篮100次，小杨得分达到80分为获胜，否则小王获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为．以频率分布直方图中小杨获胜的频率作为概率，求．
参考数据：若随机变量，则，，．
【答案】（1）①74；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据频率分布直方图计算平均数即可；
②由题意，根据和正态分布的性质可得答案；
（2）以频率估计概率可得小杨获胜的概率，由题意得随机变量的可能取值为3，4，5，分别求出对应的概率可得Y的分布列和期望.
【小问1详解】
①平均数；
②由题意知，，，
，
，
所以；
【小问2详解】
以频率估计概率，则小杨获胜的概率为，
由题意知，随机变量的可能取值为3，4，5，
所以，
，
，
Y的分布列为
Y
3
4
5




所以.
22. 已知函数，设为两个不相等正数，且．
（1）求的取值范围．
（2）当时，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数求导后，分和判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间，再由题意可知不合题意，当时，求出的最大值，由题意可得，从而可求出的取值范围；
（2）根据题意构造函数，利用导数可判断在上单调递增，从而可得，不妨设，再根据的单调性可证得结论.
【小问1详解】
由，得，
①时，，在单调递减，不符合题意，
②时，令，；
令，；
令，
当变化时，，的变化情况如下表所示.





+
0


单调递增

单调递减
当时，取得极大值也是最大值，即，
当时，，当时，.
因为，
所以，解得.
故的取值范围为
【小问2详解】
当，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，
构造函数
则
所以在上单调递增，
故，
所以，即，
不妨设，，即，
又因为，所以，
因为，在上单调递减，
所以，即得.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数单调性问题，第（2）问解题的关键是构造函数，再利用导数判断其单调性，再结合的单调性可得结论，考查数学转化思想，属于较难题.