专训2.6 导数（解析版） 试卷

专训2.6  导数

1．（2020·河南郑州·高三其他模拟（理））已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）由函数的定义域是，

则．

当时，，此时在区间上，；在区间上，，

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

当且时，即时，对任意恒成立，

即对任意恒成立，且不恒为0．

故函数的单调递减区间为；

当且时，即时，方程的两根依次为，，

此时在区间，上，；在区间上，，

故函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；

当时，方程的两根依次为，，

此时在区间上，；在区间上，，

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）证明：当时，，

则．

当时，，令，

则，所以在上单调递增．

因为，，

所以存在使得，即，即．

故当时，，此时；

当时，，此时．

即在上单调递增，在上单调递减，

则．

令，，则，

所以在上单调递增，则，，

所以．

故．

2．（2020·全国高三其他模拟）已知函数

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】（1）因为

所以

令，得，.

所以当时，时，，时，，时，，

所以在上单调递减，在，上单调递增；

当时在上恒成立，于是在上单调递增：

当时，时，，时，时，，

所以在上单调递减，在，上单调递增.

综上，当时，在上单调递减，在，上单调递增；

当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.

（2）解法一①当，即时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

依题意有，解得，所以.

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

依题意有，解得，即，

又，故此时不存在满足题意；

③当，即时，在上单调递增，当时，，而，不成立，故此时的不满足题意；

④当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，依题意有，且，无解，此时不存在满足题意；

⑤当，即时，在上单调递增，在上单调递减，依题意有，且，

又，故此时不存在满足题意.

综上，实数的取值范围是

解法二由得，

即，易知，所以

设，，

则，

易知，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.

所以，所以，故实数的取值范围为.

3．（2020·全国高三其他模拟）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数只有1个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间；（2）.

【解析】（1）的定义域是，

当时，，，

易知单调递增，且当时，，

所以当时，，当时，，

因此的单调递减区间是，单调递增区间．

（2）由，得，

令，

若函数只有一个零点，则直线与函数的图象有且只有一个交点．

，

令，则，

所以在上单调递减，

易知，，

所以存在，使得，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减．

易知当时，；当时，．

作出直线与函数的大致图象如图所示，

由图可知，若，则直线与函数的图象有且只有一个交点．

若，则当直线与函数的图象相切时，有且只有一个交点，

设切点为，则，得，．

故实数的取值范围是．

4．（2020·河南焦作·高三一模）设函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若时，求的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】（1）的定义域为，

当时，，，

当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）知，当且仅当时等号成立..

若，，不符合条件.

若，，.

令，得或，

若，则当时，单调递减，此时，不符合条件.

若，则当时，，单调递增，

此时，即当时，.

综上所述，的取值范围是

5．（2020·福建高三其他模拟）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，函数在上恒成立，求证：.

【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析

【解析】（1）

若时，，在上单调递增；

若时，，当或时，，为增函数，

当时，，为减函数，

若时，，当或时，，为增函数，

当时，，为减函数.

综上，时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）由，解得 ，

所以，

由时，，可知在上恒成立

可化为在上恒成立，

设，

则，

设，则 ，

所以在上单调递增，

又，

所以方程有且只有一个实根，且

所以在上，， 单调递减，在上，单调递增，

所以函数的最小值为，

从而

6．（2020·四川高三零模）已知函数，

（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；

（2）若函数的最大值为，求实数的值；

（3）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）因为，所以，则，

点的坐标为，故切线方程为，

即，由于它与直线重合，所以，

解得，故．                      

（2）因为，所以，

由，解得，由，解得，

所以函数在单调递增，在单调递减，而，

所以，解得                              

（3）因为，即

即，令，即有．

①当时，，所以不合题意；

②当时，，

当时，，递减，当时，，递增．

所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；

③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；

综上，实数的取值范围为．

7．（2020·全国高三其他模拟）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.

【解析】（1）由，得.

当时，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，令，得，

当时，时，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

综上所述，当时、的单调递减区间为，

无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），即，

即，即.

令，

易知，

令，则易知函数在上单调递增.

因为，，所以存在，使得，

所以当时，，，

当时，，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

由，得，即，所以，

所以，

所以，即实数的取值范围为.

8．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）已知函数，.

（1）求函数在上的单调区间；

（2）证明：对任意的实数，，，都有恒成立.

【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】（1）解：，

当或时，；

当时，，

所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.

（2）证明：因为，在上是增函数，

所以不等式，

即恒成立.

设，即证函数在上是增函数，

即证，

即证在上恒成立.

令，，

在上单调递减，在上单调递增，.

所以，即.

因为，所以.

所以要证成立，只需证，

令，，

当时，，递减；当时，，递增.

，所以，

即在上恒成立，所以原命题成立.

9．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）已知函数，.

（1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）-8；（2）.

【解析】（1）当时，由，得，

令，得或.

当变化时，，在的变化情况如下表：

所以在上的最大值为，得.

（2）由，得，

因为，且等号不能同时取得，

所以，即，

所以恒成立，即.

令，，则，

当时，，，从而，

所以在上为增函数，所以，

所以.

10．（2020·广西高三其他模拟）已知函数.

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）若有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.

【解析】(1)由题可知的定义域为

函数，

所以函数在区间上是增函数.

在区间上的最大值为，最小值为.

(2)，令，

.

当时，.，显然有解.

当时，由得，

当时，，

当时，，

故在处取得最大值.

若使有解，只需

解得.

结合，此时a的取值范围为.

综上所述，a的取值范围为.