人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质优质学案

这是一份人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质优质学案，共7页。

第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质


出示目标


1.会作函数y=ax2和y=ax2+k的图象，并能比较它们的异同；理解a、k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.


2.了解抛物线y=ax2上下平移规律.


预习导学


阅读教材，自学“例2”及两个“思考”，理解y=ax2+k中a、k对二次函数图象的影响.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


①在抛物线y=x2-4上的一个点是( C )


A.(4，4) B.(1，-4) C.(2，0) D.(0，4)


②抛物线y=x2-4与x轴交于B、C两点，顶点为A，则△ABC的周长为 SKIPIF 1 < 0 .


点拨：当y等于0时，即可求出与x轴交点的两个坐标,可利用构造直角三角形求出各边长.


③画出二次函数y=x2-1、y=x2和y=x2+1的图象，并观察图象有哪些异同？


点拨：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找.


活动1 小组讨论


例1抛物线y=ax2与y=ax2±k(k>0)有什么关系？


解:①抛物线y=ax2±k的形状与y=ax2的形状完全相同，只是位置不同.


②抛物线y=ax2 SKIPIF 1 < 0 y=ax2+k，抛物线y=ax SKIPIF 1 < 0 y=ax2-k.





例2 抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x2+3，它是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位得到的.


点拨：


①解这类题，必须根据二次函数y=ax2+k的图象与性质来解，a值确定抛物线的形状大小及开口方向，k值确定顶点的位置.


②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长)





例3 已知抛物线y=ax2+k向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x2+2，试求a、k的值.














解:根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0





活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


1.若二次函数y=ax2+k，当x取x1、x2(x1≠x2)时函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( D )


A.a+k B.a-k C.-k D.k


2.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )





3.二次函数y=-2x2+6图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，6)，当x<0时，y随x的增大而增大.


4.将抛物线y=3x2-4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y=-3x2-4.


5.已知函数y=ax2+k的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则a=3,k=2.


6.如图，抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.


①求A、B、C三点的坐标；


②过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积.








解：①A(-1，0)、B(1，0)、C(0，-1)； ②4.


课堂小结


1.本节课所学的知识:函数y=ax2+k的图象与性质以及抛物线y=ax2上下平移规律.


2.所学的思想方法:图象法、数形结合.





第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质


出示目标


1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y=a(x-h)2的图象.


2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.


3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律.


预习导学


阅读教材，自学“探究”与两个“思考”，掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系，理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


①抛物线y=ax2 SKIPIF 1 < 0 y=a(x+h)2(h>0)，


抛物线y=ax2 SKIPIF 1 < 0 y=a(x-h)2(h>0).


②画函数y=- SKIPIF 1 < 0 x2、y=- SKIPIF 1 < 0 (x+1)2和y=- SKIPIF 1 < 0 (x-1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y=- SKIPIF 1 < 0 x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？


点拨：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.





③二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x=h.


④抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x+h)2(h>0)；抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2(h>0).





点拨：注意y=a(x-h)2中h是非负数.


⑤抛物线y=- SKIPIF 1 < 0 (x-1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线x=1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y=- SKIPIF 1 < 0 x2.





活动1 小组讨论


例1 在直角坐标系中画出函数y= SKIPIF 1 < 0 (x+3)2的图象.


①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；


②根据图象回答：当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？


③怎样平移函数y= SKIPIF 1 < 0 x2的图象得到函数y= SKIPIF 1 < 0 (x+3)2的图象？





解:①对称轴是直线x=-3，顶点坐标为(-3,0);


②当x<-3时，y随x的增大而减小；当x>-3时，y随x的的增大而增大；


当x=-3时，y有最小值.


③将函数y= SKIPIF 1 < 0 x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y= SKIPIF 1 < 0 (x+3)2的图象.


点拨：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.





活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


1.不画图象，回答下列问题.


①函数y=2(x+1)2的图象可以看成是由函数y=2x2的图象作怎样的平移得到的?


②说出函数y=2(x+1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.


③函数y=2(x+1)2有哪些性质？


④若将函数y=2(x+1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象?





解：


1.①向左平移1个单位 ②开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标(-1，0) ③当x>-1时，y随x的增大而增大；当x<-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y有最小值0 ④y=2(x+4)2.


2.与抛物线y=2(x+1)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y=-2(x+1)2.





第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的性质


出示目标


1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y=a(x-h)2+k的图象.


2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.


3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.


预习导学


阅读教材，自学“例3”与“例4”，掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系，理解并掌握y=a(x-h)2+k的相关性质.


自学反馈 学生独立完成后集体订正


①一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象形状相同，顶点不同，把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定:当h>0时，表明将抛物线y=ax2向右平移h个单位；当k<0时,表明将抛物线y=ax2向下平移-k个单位.


②抛物线y=a(x-h)2+k的特点:当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h；顶点坐标是(h,k).


③函数y=4(x+1)2-2的图象是由函数y=4x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.


④抛物线y=-2(x-1)2-3的开口方向是向下，其顶点坐标是(1，-3)，对称轴是直线x=1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小.


活动1 小组讨论


例2 填写下表:





活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)


1.将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是y=-3(x-2)2+5.





2.若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m)2+1的顶点必在第二象限.





3.把y=x2-1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y=(x-1)2-3.





4.已知A(1,y1)、B(-2,y2)、C(-2,y3)在函数y=a(x+1)2+k(a>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1>y3>y2.





课堂小结


1.本节所学的知识:二次函数y=a(x-h)2+k的图象画法及其性质的总结；平移的规律.


2.所用的思想方法:从特殊到一般.








课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知点（x1，y1）（x2，y2）在抛物线y=（x﹣h）2+k上，如果x1＜x2＜h，则y1，y2，k的大小关系是（ ）


A.y1＜y2＜k B.y2＜y1＜k C.k＜y1＜y2 D.k＜y2＜y1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数y=3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（ ）


A.其图象的开口向下


B.图象的对称轴为直线x=﹣1


C.函数的最大值为5


D.当x＞1时，y随x的增大而增大





LISTNUM OutlineDefault \l 3 对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）


A、开口向下


B、对称轴是x=-1


C、顶点坐标是（1，2）


D、与x轴有两个交点





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x﹣h)2（a≠0）的图象可能是（ ）








LISTNUM OutlineDefault \l 3 在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是( )


A.y=2x2﹣4 B.y=2(x﹣2)2 C.y=2x2+2 D.y=2(x+2)2


LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线 y =(x－2)2 +3的顶点坐标是（ ）.


A.(2,3) B.(－2,3) C.(2，－3) D.(－2，－3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（ ）


A.（3，1） B.（3，﹣1） C.（﹣3，1） D.（﹣3，﹣1）





LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )


A.直线y=x上 B.直线y=-x上 C.x轴上 D.y轴上








二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 二次函数y=x2﹣2x+1的对称轴方程是 .





LISTNUM OutlineDefault \l 3 将二次函数y=x2-2x化为顶点式的形式为： .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若把函数y=x2﹣2x﹣3化为y=(x﹣m)2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 抛物线y＝(x-2)2+3的顶点坐标是 .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式，则y= ．





三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数y=x2－4x＋3.


(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；


(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积.





























参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 C


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：（2，-1）.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：x=1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：y=(x-1)2-1


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：﹣3．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(2，-3)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：y=(x﹣1)2+2．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)y=x2－4x＋3=x2－4x＋4－4＋3=(x－2)2－1，


所以顶点C的坐标是(2，－1)，


当x≤2时，y随x的增大而减小；


当x＞2时，y随x的增大而增大；


(2)解方程x2－4x＋3=0得x1=3，x2=1，


即A点的坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，0).


如图，过点C作CD⊥AB于点D.


∵AB=2，CD=1，


∴S△ABC=0.5AB×CD=0.5×2×1=1.





解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=-5x2
向下
y轴
(0，0)
y= SKIPIF 1 < 0 0.5x2+5
向上
y轴
(0，5）
y=-3(x+4)2
向下
x=-4
(-4，0)
y=4(x+2)2-7
向上
x=-2
(-2，-7)