初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数第3课时导学案

第二十二章  二次函数

22.1.3  二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质

第3课时 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质

学习目标：1.会用描点法画出y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象.

2.掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.

3.理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.

重点：掌握二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用其解决问题.

难点：理解二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.

一、知识链接

1.分别说说下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况.

(1)y=ax2；                (2)y=ax2+k；              (3)y=a(x－h)2.

2.二次函数y=－2x2+3的图象和y=－2(x+2)2的图象如何由函数y=－2x2的图象平移得到？

3.请猜测一下，二次函数y=－2(x+2)2+3的图象是否可以由y=－2x2的图象平移得到？你认为该如何平移呢？  

二、要点探究

探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质

典例精析

例1  (教材P35例3)画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.

试一试  画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.

要点归纳：二次函数y=a(x－h)2+k(a≠0)的性质

当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最小值为k.当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.

当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)，当x=h时，y有最大值为k.当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.

例2 二次函数y＝-2(x+1)2-4，下列说法正确的是(     )

      A．开口向上                    B．对称轴为直线x＝1 

      C．顶点坐标为(1，4)            D．当x＜-1时，y随x的增大而增大

例3  已知抛物线y＝a(x-3)2+2经过点(1，-2)．

（1）指出抛物线的对称轴；

（2）求a的值；

（3）若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．

探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系

例4  怎样移动抛物线才可以得到抛物线？

要点归纳：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2+k的关系

上下平移，括号外上加下减，括号内不变；左右平移，括号内左加右减，括号外不变.二次项系数a不变.

例5   将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y=2(x-4)2-1         B．y=2(x+4)2+1     C．y=2(x-4)2+1         D．y=2(x+4)2-1

变式训练

将抛物线y＝5(x-1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　）

A．y＝5(x+2)2+3    B．y＝5(x-4)2﹣1    C．y＝5(x-4)2+3    D．y＝5(x-3)2+4

例6  已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)

例7  (教材P36例4)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?

三、课堂小结

1.完成下列表格.

2.把抛物线y=－3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是           .

3.抛物线y=－3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为            .

4.已知函数y＝-(x-4)2-1.

(1)指出函数图象的开口方向是　    　，对称轴是      　    ，顶点坐标为　         　   ；

(2)当x　   　   时，y随x的增大而减小；

(3)怎样移动抛物线y＝﹣x2就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1.

5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．

(1) 求a的值；

(2) 若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．

参考答案

自主学习

知识链接

1.(1)对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为0），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.

（2）对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为k），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为k），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.

(3)对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，0）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点（即最小值为0），当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最高点（即最大值为0），当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.

2.把y=-2x2的图象向上平移3个单位,得到y=－2x2+3的图象，把y=-2x2的图象向左平移2个单位,得到y=－2(x+2)2的图象.

3.可以，将y=-2x2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位（或向左平移2个单位，再向上平移3个单位）.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质

典例精析

例1   列表如下：

描点、连线如图①所示，

开口方向向下；对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1，-1).

        图①                                    图②

试一试

解：函数y=2(x+1)2-2图象如图②所示.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2).

例2   D   

例3 解：（1）由y＝a(x-3)2+2可知顶点为（3，2），对称轴为直线x＝3.

（2）∵抛物线y＝a(x-3)2+2经过点（1，-2），∴-2＝a（1-3）2+2，∴a＝-1.

（3）∵y＝-(x-3)2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A(m，y1)，(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，∴y1＜y2．

探究点2：二次函数y=a(x－h)2+k与y=ax2的关系

例4  解：方法一：抛物线向下平移1个单位，再向左平移1个单位；

方法二：抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位；

例5  B   变式 C     例6  A

例7 解：如图建立直角坐标系，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).∵这段抛物线经过点(3,0)，∴ 0=a(3－1)2＋3.解得a=.因此抛物线的解析式为y=(x－1)2＋3 (0≤x≤3)当x=0时，y=2.25.

答:水管长应为2.25m.

当堂检测

1.填表如下：

2.    3.

4.(1)向下  直线x=4  (4，-1)    (2)＞4

（3）解：将抛物线y＝-x2向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度就可以得到抛物线y＝-(x-4)2-1．

5.解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；

(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；

方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.