人教版 (新课标)必修27.生活中的圆周运动精品教学设计及反思

7．生活中的圆周运动

1．火车在弯道上的运动特点

火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．

图5­7­1

2．向心力的来源

(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损．

(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．

1．火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)

2．火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的．(×)

3．火车通过弯道时具有速度的限制．(√)

除了火车弯道具有内低外高的特点外，你还了解哪些道路具有这样的特点？

图5­7­2

【提示】　有些道路具有外高内低的特点是为了增加车辆做圆周运动的向心力，进而提高了车辆的运动速度，因此一些赛车项目的赛道的弯道要做得外高内低，比如汽车、摩托车、自行车赛道的弯道，高速公路的拐弯处等．

火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图5­7­3所示，请思考下列问题：

重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力

图5­7­3

探讨1：火车转弯处的铁轨有什么特点？

【提示】　火车转弯处，外轨高于内轨．

探讨2：火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？

【提示】　火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力．

1．明确圆周平面

火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．

2．受力特点

在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，其竖直分力可以与重力平衡，其水平分力可以提供向心力，或者说火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力．

3．速度与轨道压力的关系

(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝m，如图5­7­4所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈，h为内外轨高度差，L为内外轨间距)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无挤压作用；

图5­7­4

(2)若火车行驶速度v0>，外轨对轮缘有侧压力；

(3)若火车行驶速度v0<，内轨对轮缘有侧压力．

1．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是(　　)

A．v一定时，r越小则要求h越大

B．v一定时，r越大则要求h越大

C．r一定时，v越小则要求h越大

D．r一定时，v越大则要求h越大

【解析】　设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．

【答案】　AD

2. (多选)火车在铁轨上转弯可以看做是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　)

图5­7­5

A．减小弯道半径

B．增大弯道半径

C．适当减小内外轨道的高度差

D．适当增加内外轨道的高度差

【解析】　当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．

【答案】　BD

3．(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图5­7­6所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)

【导学号：50152043】

图5­7­6

A．路面外侧高内侧低

B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动

C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小

【解析】　汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误．当v<vc时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v>vc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确．

【答案】　AC

火车转弯问题的两点注意

(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．

(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．

1．汽车驶过凸形桥最高点，速度很大时，对桥的压力可能等于零．(√)

2．汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的．(×)

3．汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力．(√)

公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图5­7­7所示，汽车在凹形桥上通过时，汽车的向心力由什么力提供？汽车对桥的压力是否等于重力？

图5­7­7

【提示】　汽车的向心力由支持力和重力的合力提供，即Fn＝FN－mg，汽车对桥的压力大于重力．

如图5­7­8所示，过山车的质量为m，轨道半径为r，过山车经过轨道最高点时的速度为v.

图5­7­8

探讨1：过山车能通过轨道最高点的临界速度是多少？

【提示】　临界条件为mg＝，故临界速度v＝.

探讨2：当过山车通过轨道最高点的速度大于临界速度时，过山车对轨道的压力怎样计算？

【提示】　根据FN＋mg＝，可得FN＝－mg.

1．汽车过桥问题的分析

(1)汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图5­7­9甲所示．

图5­7­9

由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m.

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FN′＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．

①当0≤v<时，0<FN≤G.

②当v＝时，FN＝0，FN＞G汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．

③当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．

(2)汽车过凹形桥．

如图5­7­9乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力FN′＝G＋m，大于汽车的重力．

2．轻绳模型

如图5­7­10所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.

图5­7­10

在最高点时：

(1)v＝时，拉力或压力为零．

(2)v>时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．

(3)v<时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)

即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝.

3．轻杆模型

如图5­7­11所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：

图5­7­11

(1)v＝0时， 小球受向上的支持力N＝mg.

(2)0<v<时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．

(3)v＝时，小球只受重力．

(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．

即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.

4．俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图5­7­12所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是(　　)

图5­7­12

A．A点，B点　　　　  B．B点，C点

C．B点，A点    D．D点，C点

【解析】　战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FN<mg且RC>RA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.

【答案】　C

5．如图5­7­13所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(　　)

【导学号：50152044】

图5­7­13

A.   B．2

C.   D.

【解析】　小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．

【答案】　C

6．长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2)

(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；

(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.

【解析】　小球在最高点的受力如图所示：

(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s

由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2

故小球所受杆的作用力

F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N

即杆对小球提供了138 N的拉力．

由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．

(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n＝π rad/s

同理可得小球所受杆的作用力

F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N.

力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．

【答案】　(1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上．

(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下．

竖直平面内圆周运动的分析方法

1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．

2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．

3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．

1．航天器在近地轨道的运动

(1)对航天器，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足的关系为Mg＝.

(2)对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝，由以上两式可得FN＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零．

(3)航天器内的任何物体之间均没有压力．

2．对失重现象的认识

航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力．正因为受到地球引力的作用，才使航天器连同其中的乘员做匀速圆周运动．

3．离心运动

(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．

(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力．

1．绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态．(√)

2．航天器中处于完全失重状态的物体不受重力作用．(×)

3．做离心运动的物体沿半径方向远离圆心．(×)

4．做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动．(×)

1．宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中处于完全失重状态，是不是宇航员在空间站中不受重力作用？

【提示】　不是．宇航员所受重力恰好提供其绕地球运行的向心力．

2.雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图5­7­14所示)，你能说出其中的原因吗？

图5­7­14

【提示】　旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出．

链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出．汽车   高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面．

图5­7­15

探讨1：链球飞出、汽车滑出路面的原因是因为受到了离心力吗？

【提示】　链球飞出、汽车滑出路面的原因是物体惯性的表现，不是因为受到了什么离心力，离心力是不存在的．

探讨2：物体做离心运动的条件是什么？

【提示】　物体做离心运动的条件是：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力．

1．离心运动的实质

离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．

2．离心运动的条件

做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．

3．离心运动、近心运动的判断

如图5­7­16所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．

图5­7­16

(1)若Fn＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．

(2)若Fn＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．

(3)若Fn＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动．

7. (多选)2013年6月11日至26日，“ 神舟十号” 飞船圆满完成了太空之行，期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课，女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验．如图5­7­17所示为处于完全失重状态下的水珠，下列说法正确的是(　　)

【导学号：50152045】

图5­7­17

A．水珠仍受重力的作用

B．水珠受力平衡

C．水珠所受重力等于所需的向心力

D．水珠不受重力的作用

【解析】　做匀速圆周运动的空间站中的物体，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非不受重力作用，A、C正确，B、D错误．

【答案】　AC

8.如图5­7­18所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是  (　　)

图5­7­18

A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动

B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动

C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动

D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心

【解析】　若F突然消失，小球所受合外力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．

【答案】　A

9.如图5­7­19所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)

图5­7­19

A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用

B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力

C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去

D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去

【解析】　摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．

【答案】　B

分析离心运动需注意的问题

1．物体做离心运动时并不存在“离心力”，“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力．

2．离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．

3．摩托车或汽车在水平路面上转弯，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，做离心运动．