人教版 (新课标)必修27.生活中的圆周运动导学案及答案

第9讲  　　生活中的圆周运动

考点1     水平路面上汽车匀速转弯问题

    水平路面上汽车匀速转弯是依靠指向圆心的静摩擦力提供向心力，该力最大值可认为等于滑动摩擦力。如果汽车转弯的速率过大，静摩擦力不足以提供向心力，汽车将做离心运动而发生危险！

  【考题1】在一宽阔的马路上，司机驾驶着汽车匀速行驶。突然发现前方有一条很宽很长的河。试分析说明他是紧急刹车好还是转弯好?(设汽车转弯时做匀速圆周运动，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等)

  【解析】本题中最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，故最大静摩擦力等于，转弯时，最大静摩擦力提供向心力，故．刹车时汽车水平方向所受合力就等于滑动摩擦力，汽车做减速运动，故: .比较刹车距离x和转弯半径R的大小即可．

    设汽车的质量为m车轮与地面的动摩擦因数为μ，刹车时汽车的速度为v，刹车距离为x．

    若汽车刹车，则有．。    所以：；

    若汽车转弯，则有，   所以．

    可见R＝2x，故司机还是采取刹车较好．

  【变式1—l】质量为m的汽车，在半径为20m的圆形水平路面上行驶。最大静摩擦力是车重的0.5倍，为了不使轮胎在公路上打滑，汽车速度不应超过                m/s．(g取10m/s2)

考点2      火车转弯问题

    铁路的弯道处将外轨设计成高出内轨一特定高度，即让铁路形成一个倾斜角，当火车以某一特定速度通过时，可以恰好由轨道的支持力与火车重力的合力提供向心力，火车对铁轨无侧向破坏性弹力．

【考题2】一段铁路转弯处，内、外轨高度差为h＝10cm．弯道半径为r＝625m，轨距L＝1435mm，求这段弯道的设计速度vo是多大?并讨论当火车速度大于或小于v0时内外轨的侧压力．(g取10m/s2)

  【解析】当火车以设计速度v0运行时，其受力示意图如图l0—1所示，其中G与FN的合力提供火车转弯时的向心力，

   ，  

所以 ． 当θ很小时，，代人上式有：

讨论：①当v＞v0时，外轨对外轮边缘产生沿路面向内的弹力(侧压力)，此时火车受力如图10—2所示，设火车的质量为m,根据牛顿第二定律有

  联立上述两式解得:．

    由此看出，火车的速度v越大，F外越大，铁轨越容易损坏；若F外过大，会造成铁轨的侧向移动，损坏铁轨，造成火车出轨。

    ②当v＜v0时，内轨对内轮缘产生沿路面向外的侧压力以抵消多余的向心力，同理有

           联立解得

    可以看出，v越小,F内越大，内轨的磨损也较大．因此在有弯道限速标志的地方一定要遵守规定．

  【变式2—1】铁路转弯处的圆弧半径是300m，轨距是l．435m，规定火车通过这里的速度是72km／h，内、外轨的高度差该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压?保持内、外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72km/h，会分别发生什么现象?说明理由．

考点3    汽车过拱形桥问题

  汽车过凸形拱桥的最高点时，对桥面压力小于重力；汽车过凹形拱桥的最低点时，对桥面压力大于重力．

    (1)凸形拱桥

    汽车过凸形拱桥的最高点时，由汽车受到的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力，如图10-5所示．

    所以汽车过凸形拱桥时，． 汽车对桥的压力F’与桥对汽车的支持力FN是一对作用力与反作用力，大小相等，所以压力的大小．显然，汽车对桥的压力F’小于汽车的重力G．并且随车速增加而减小，当车速增加到满足时，F’＝0，速度再增大，会出现“飞车”现象。这是很危险的．

    (2)凹形拱桥    汽车过凹形拱桥的最低点时，仍然是由桥对汽车的支持力和汽车的重力的合力提供向心力，如图l0—6。过凹形拱桥时，． 同样汽车对凹形桥的压力.

即：车对桥的压力比汽车的重力大，且速度越大，车对桥的压力也越大．

【考题3】一辆汽车匀速通过半径为R的凸形圆弧路面，关于汽车的受力情况，下列说法中正确的是(    )．

    A．汽车对路面的压力大小不变，总是等于汽车的重力

    B．汽车对路面的压力大小不断发生变化，总是小于汽车的重力

    C．汽车的牵引力不发生变化

    D．汽车的牵引力逐渐变小

    【解析】汽车受重力mg、路面对汽车的支持力FN、汽车的牵引力F(暂且不考虑汽车运动过程中受到的阻力)，如图10—3所示，设汽车所在位置路面切线与水平面所夹的角为θ， 汽车运行时速率大小不变，沿轨迹切线方向合力为零，所以

    ．

    汽车在到达最高点之前，θ角不断减小，由上式可见：汽车的牵引力不断减小；从最高点向下运动的过程中，不需要牵引力，反而需要制动力．所以C选项不正确，D选项正确．

    在沿着半径的方向上，汽车有向心加速度，由牛顿第二定律有：  ．

   得：.可见，路面对汽车的支持力FN随θ的减小而增大，当到达顶端时因θ＝0．

达到最大，FN<mg．所以A选项不正确，B选项正确．

    【答案】B、D

    【变式3—1】如图10一4所示．汽车质量为l．5×104kg，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径为l5m，如果桥面承受的最大压力不得超过2×105N，汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少？(g取10m/s2)

考点4      “水流星”问题

    当最高点速度时，水不会流出；当时，水桶实际上到不了最高点，水会全部流出．

 【考题4】如图l0—8所示，质量为0．1kg的水桶内盛水0．4kg，用50cm的绳子系住桶，使它在竖直面内做圆周运动。如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s和1Om/s，求水桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对桶的压力。

    【解析】在最高点时，分别以水桶和水为研究对象。水和桶质量为M＝0.5kg．水的质量为m＝0．4kg．则水和桶受重力Mg和绳的拉力T1作用，有

    ．即：

    把数据代入上式．可得T1＝76N．即桶对绳的拉力大小为76N．方向向上。

    水在最高点受重力mg和桶底对水的支持力N1的作用,有:

   ． 

    把数据代人上式，可得：N1=60．8N．

    则水对桶的压力大小为60．8N，方向向上。

    在最低点时，水和桶受绳向上的拉力T2和向下的重力Mg作用。有：

    ． 

  把数据代入上式，可得：T2＝105N．

  则桶对绳的拉力大小为l05N，方向向下．

  水在最低点受桶向上的支持力N2和向下的重力mg作用，有

    把数据代人上式，可得：N2＝84N．则水对桶的压力大小为84N，方向向下．

    【变式4—1】用长为L=0．6m的绳系着装有m＝0．5k9水的桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”．求：

    (1)过最高点水不流出的最小速度为多少?

    (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力有多大?

考点5．  竖直平面内圆周运动的临界问题

    竖直平面内圆周运动模型分为有支持物和无支持物两种，恰能过最高点的临界条件不同，应注意区别。

    对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。下面对临界问题简要分析如下：

    1．没有物体支持的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点，如图甲(小球在圆轨道内侧运动)和图乙(小球在绳的约束下运动)所示．

    (1)临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零．小球的重力充当其做圆周运动所需的向心力．设v是小球能通过最高点的最小速度．则：, 则。

    (2)能过最高点的条件：．

    (3)不能通过最高点的条件：．在这种情况下小球在达最高点之前就脱离了圆轨道，做斜抛运动。

    2．有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动的情况，如图丙(小球在内、外轨同时约束下运动)和图丁(小球在杆的约束下运动)所示．

    (1)临界条件：由于硬杆或内管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度．硬杆或内管壁对小球的支持力：

(2)当时，硬杆对小球是支持力或内管壁对小球是支持力：，支持力N随v的增大而减小，其取值范围是．

    (3)当时，硬杆对小球施加的是拉力，且拉力；或管的外壁对小球的竖直向下的压力．

    (4)当时，小球不受硬杆或管壁的作用力．

【考题5】长L=0．5m，质量可以忽略不计的杆，其下端固定于O点，上端连着一个质量为m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动。如图10—10所示．g取10m/s2，在A通过最高点时，试讨论下列两种情况下杆的受力：

    (1)当A的速率v1＝1m/s时： (2)当A的速率v2＝4m/s时．

    【解析】解法一：小球在竖直平面内做圆周运动，属于杆球模型问题，当小球过最高点，只受重力作用时，重力提供向心力，根据，可得，因此当小球的速度大于时杆受拉力，小于时杆受压力．

    (1)当时，受力分析如图]0—11所示，小球受向下的重力mg和向上的支持力FN．

    由牛顿第二定律得，．得：

    即杆受小球的压力为16N．

    (2)当时．受力分析如图l0—l2所示，小球受向下的重力mg和向下的拉力F．

    由牛顿第二定律得: ，

    即杆受小球的拉力为44N．

    解法二:小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可以不作具体的判断而假设一个方向，如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的(2)的情形．由牛顿第二定律有，得到．

    (1)当时．F1＝－l6N，F1为负值．说明它的实际方向与所设的方向相反．即小球受力应向上，为支持力，则杆应受压力。

    (2)当时．F2＝44N，F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力应向下，为拉力，则杆也应受拉力。

    【变式5—11如图l0—l3所示，小球m在竖直放置的内壁光滑的圆形细管道内做圆周运动。下列说法中错误的是(    )．

    A．小球通过最高点的最小速度为

    B．小球通过最高点的最小速度为零

    C．小球通过最高点时一定受到向上的支持力作用

    D．小球通过最低点时～定受到侧管壁的向上的弹力

    【变式5—2】长度为L=0．50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3．0kg的小球。如图l0一14所示，小球以0点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2．0m/s，g取10m/s2．则此时细杆0A受到(     )．

A．6．ON的拉力    B．6．ON的压力 

C．24N的拉力      D．24N的压力

考点6      约束状态下圆周运动临界问题的综合分析

    约束状态下部分圆周运动在出现临界问题时，常常伴随着几何关系、物理作用力性质的变化等情境，分析时应重点把握。

解决圆周运动问题的基本步骤

    (1)确定做圆周运动的物体为研究对象，画出物体的运动轨迹，并确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。

    (2)对物体进行受力分析。

    (3)对物体受到的力沿半径方向、切线方向和垂直于圆平面方向正交分解。

    (4)在半径方向上根据牛顿第二定律、在垂直于圆平面方向依据平衡条件列方程求解。

几种常见的匀速圆周运动的实例图表（如右图）

  【考题6】如图l0一15所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，其半顶角θ＝300，一条不计质量、长为L且平行于圆锥体的绳一端固定在顶点0点，另一端拴一质量为m的物体。物体以速度v绕圆锥体的轴线OO’在水平面内做匀速圆周运动当和时，分别求出绳对物体的拉力。

    【解析】物体绕圆锥体的轴线OC在水平面内做匀速圆周运动，线速度v较小时，它受到重力mg、绳拉力F和圆锥侧面支持力FN的作用。如图l0—16所示，当线速度v较大时，圆锥侧面对物体没有力的作用。由于支持力存在与否会影响物体做匀速圆周运动的向心力大小，因此在解答此题时首先应判断v为多大时，圆锥侧面对物体就无支持力的作用。

    设物体以速度v0绕圆锥体的轴线OC在水平面内做匀速圆周运动时，物体与圆锥侧面虽然接触，但不受支持力的作用。此时，重力mg和绳拉力F的合力提供向心力。则有：

    ．     ①

    .            ②

    由①②式联立解得：．

    即当时，圆锥侧面刚好对物体没有支持力的作用．

(1)      由于,所以物体在此情况下除受重力mg、拉力F1的作用外，还受到支持力FN的作用，由图可知

    ．    ③

    ．    ④

    由③④式联立解得，绳拉力为．

    (2)由于，物体不受圆锥侧面的支持力作用，且已脱离了侧面，设此时绳与0C夹角为θ，则有

       ⑤

   ．          ⑥

由⑤式可得: ，则

由⑥式知：，所以有：．

即可得：．

解得：， (舍去)．

所以．

将代人⑥式，可得当时，绳对物体的拉力．

    【变式6—1】如图l0—17所示，长为L的细绳的一端系住一质量为m的小球，另一端悬于光滑水平面上方h处，h＜L。当小球紧压在水平面上以转速n r/s做匀速圆周运动时，水平面受到的压力多大?为使小球不离开水平光滑面，最大转速n0为多少?

考点7      航天器中的失重问题

    绕地球运行的航天器所受的引力全部用来提供向心力。航天器处于完全失重状态，座舱对航天员的支持力为零。

  【考题7】“神舟”六号飞船绕地球做匀速圆周运动。在飞船内的宇航员  (    )．

    A．可以用天平测量物体的质量

    B．可以用水银气压计测飞船内的气压

    C．可以用弹簧测力计测拉力

    D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力

  【解析】飞船内物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为零。因此不能用天平测物体的质量，故A错；同理水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，故B错；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，故C正确；物体处于完全失重状态时并不是不受重力，而是重力提供了物体做圆周运动的向心力，故D正确．

  【答案】C.D

  【变式7—1】地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R(约为6400km)．地面上有一辆汽车，重力是G＝mg，地面对它的支持力是FN．汽车沿南北方向行驶，不断加速，如图10一18所示．会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零?这时驾驶员与座椅之间的压力是多少?驾驶员躯体各部分之间的压力是多少?他这时可能有什么感觉?

专 项 测 试

学业水平测试

1．[考点1]小球以水平速度v进人一个水平放置的光滑的螺旋形轨道，轨道半径逐渐减小，则(    )．

A．球的向心加速度不断增大              B. 球的角速度不断增大

C．球对轨道的压力不断增大              D．小球运动的周期不断增大

2．[考点2]铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h．L为两轨间的距离，且L＞h．如果列车转弯速率大于，则(       )．

  A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压              B．铁轨与轮缘间无挤压

  C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压              D．内、外铁轨与轮缘间均有挤压

3．[考点3、5]请问你坐过翻滚过山车吗?当你经过最高点而恰好对座椅没有压力时速度为v，那么当以2v的速度经过最高点时，请问你对座椅的压力是你体重的多少倍?(       )．

  A．1               B. 2                  C．3                  D．5

4．[考点3]如图所示，内壁光滑的碗底有一个质量为m的小球，设小球对碗底的压力为FN，那么当碗沿水平方向获得(     )．

A．速度的瞬间，FN＞mg　　　    B．速度的瞬间，FN＝mg

C．加速度的瞬间，FN＞mg　　    D．加速度的瞬间，FN＜mg

5[考点3]一辆卡车在丘陵地区匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是(      )．

 A．a处      B．b处       C．c处           D．d处

6．[考点3、5]如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是(     )．

A．a处为拉力，b处为拉力         B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力         D. a处为推力，b处为推力

7．[考点7]在下面介绍的各种情况中，将出现超重现象的是(    )．

①荡秋千经过最低点的小孩；②汽车过凸形桥；③汽车过凹形桥；④在绕地球做匀速圆周运动的飞船中的仪器．

A．①②             B．①③         C．②④        D．③④

8．[考点3、5]如图所示，一个小球在半径为R的光滑管内的顶部A点水平飞出，恰好又从管口B点射人管内，则小球在A点的速度vA＝　　　　　，对　　　　　　　 (填“上”或“下”)侧管壁有弹力作用。

9．[考点l、2]汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，问：

(1)若路面水平，要使汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少?

 (2)若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低的模式，使路面与水平面有一倾角α，如图所示，则汽车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力?

高考水平测试

1．[考点7]下列实例属于超重现象的是(    )．

  A．汽车驶过拱形桥顶端                          B．荡秋千的小孩通过最低点

  C．跳水运动员被跳板弹起，离开跳板向上运动      D．火箭点火加速升空

2．[考点2]在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向左拐弯时，司机右侧的路面比左侧的高一些。路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ角的值应满足(      )．

   A.       B.       C.       D.

3．[考点3]如图所示，汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球．当汽车在水平面上匀速行驶时弹簧长度为L1，当汽车以同一速度通过一个桥面为弧形的凸形桥的最高点时弹簧长度为L2，下列正确的是(    )．

A．Ll＝L2       B．Ll＞L2       C．Ll＜L2        D．前三种情况均有可能

4．[考点1]如图所示，小球A的质量为2m，小球B和C的质量均为m，B、C两球到结点P的轻绳长度相等，滑轮摩擦不计。当B、C两球以某角速度ω做圆锥摆运动时，A球将(     )．

  A. 向上加速运动     B．向下加速运动      C．保持静止或匀速运动    D．上下振动

5．[考点3、5]用长为L的细绳，拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(      )．

  A．小球在最高点所受的向心力一定是重力    B．小球在最高点绳子的拉力可能为零

  C．小球在最低点绳子的拉力一定大于重力

  D．若小球正好能在竖直平面内做圆周运动，则它在最高点的速率为，

 6．[考点5、6]如图所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小铁块，滑出槽口时的速度为水平方向，槽口与一半球面顶点相切，半球的底面为水平。若要使小铁块滑出槽口以后不与球面接触，弧形槽半径R1和半球面的半径R2之间的关系是(    )．(提示：小铁块滑至球面顶点时的速度为)

A．     B．      C.     D．

7．[考点3]如图所示，将完全相同的两个小球A、B用长L＝0．8m的细绳悬于以v＝4m/s向右匀速运动的小车顶部.两小球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止。此时悬线中的张力之比FB:FA为多少?(g取10m／s2)

8．[考点l、6]一级方程式汽车大赛中，一辆赛车总质量为m，一个路段的水平转弯半径为R，赛车转此弯时的速度为v．赛车形状都设计得使其上下方空气有一压力差一一气动压力，从而增大了对地面的正压力。正压力与摩擦力的比值叫侧向附着系数，以η表示．要上述赛车转弯时不侧滑，则需要多大的气动压力?

9．[考点3、5]如图所示是电动打夯机的示意图，电动机带动质量为m的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速转动，重锤转动半径为R．电动机连同打夯机底座的质量为M，重锤和转轴0之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度为g．

(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面?

(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大?

10．[考点3、5]如图所示，轻杆长2L，中点装在水平轴O点，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m， B球质量为2m，两者一起在竖直平面内绕转轴O做圆周运动．求：

  (1)若A球在最高点时，杆A端恰好不受力．求此时O轴的受力大小和方向．

  (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中A球到达最高点时的速度，则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和方向又如何?

(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现0轴不受力的情况?若不出现，说明理由；若能，求出此时A、B的速度大小．

11．[考点6]如图所示，小球质量m＝0．8kg，用两根长L＝0．5m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点，AB=0．8m．当直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω＝40rad/s的角速度匀速转动时，求上、下两根绳上的张力．