专题09：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈对数运算及对数函数解析版
展开对数运算及对数函数
一、对数运算
1、求下列各式中x的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
答案：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
详解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为且，所以.
（3）因为，所以.
（4）.
（5）
.
【点睛】
本题主要考查对数的运算，同时考查了指数、对数互化公式，属于简单题.
2、已知，，则m=_______.
答案： 196
解析： 将指数式化成对数式，再根据对数的运算及对数的性质计算可得；
详解：解：∵，∴，，，
∵，∴，∴，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查指数与对数的关系，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.
3、若，则（ ）
A． B． C． D．2
答案： A
解析： 由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.
【详解】
由题意
根据指数式与对数式的转化可得
由换底公式可得
由对数运算化简可得
故选:A
【点睛】
本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.
4、已知，且，则__________
答案：
解析： 因为，所以，，，所以，，故填
5、计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
答案： （1）；（2）－1.
试题分析：（1）利用指数与对数的运算性质求解即可；
（2）利用换底公式与对数运算性质求解即可.
详解：（1）
（2）.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质，换底公式的应用，考查了学生的运算求解能力
6、(1)；
(2).
答案： (1)；(2).
解析： （1）利用指数与对数的运算性质即可求解.
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【详解】
（1)原式）
.
(2)原式
.
【点睛】
本题考查了指数与对数的运算，需熟记指数与对数的运算性质，属于基础题.
二、对数函数图像
1、已知函数，，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 若a>1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C．
考点：指数函数对数函数幂函数的性质．
2、函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
答案： A
解析： 求出函数的定义域，可排除B、C选项，当时，，当时，，进而可选出答案.
详解：由题意，，解得，即函数的定义域为，所以可排除B、C选项；
当时，，此时；当时，，此时，显然D不符合题意，只有A符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，考查对数函数的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.
3、函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 详解：因为,所以排除D；对于A:由直线y=x+a可知a>1,而由对数函数的图象可知0<a<1,
对于B:由直线y=x+a可知0<a<1,而由对数函数的图象可知a>1,
故应选C．
三、对数函数的性质
1、已知且，则
A．-1 B．2 C．3 D．-3
答案： A
解析： ∵且且， ，解得
∴，
故选：A．
2、已知函数经过定点，则______.
答案： 2
解析： 利用指数函数的性质，求得，代入运算即得解.
详解：已知函数经过定点，故
故答案为：2
【点睛】
本题考查了指数函数的定点和对数运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
3、已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是_______.
答案：
解析： 先求出m=-1,n=3.再利用二次函数的图像和性质分析得解.
详解：由题得函数的图象恒过定点，
所以m=-1,n=3.
所以, 函数的对称轴方程为，
函数在上单调递减，
所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考查对数型函数的定点问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
答案： B
解析： 根据对数函数的单调性可得，，.
详解：由，
且，即，
，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
5、已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 将与2进行比较，再利用对数函数的单调性得出的大小.
详解： ,
故选A
【点睛】
本题主要考查了对数指数大小的比较，一般借助0,1,2等常数进行比较以及对数和指数函数的单调性进行比较，属于中等题.
6、已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 由对数函数的定义域可知，由此可知函数为增函数，故，解不等式即可．
详解：由题意知，得：，即函数为增函数
又因为，所以得.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数函数的图象及性质，利用函数单调性进行不等式求解．
7、函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 先得到函数的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案.
【详解】
函数，
所以，解得或，
所以定义域为
又因函数是复合函数，
其外层函数为增函数，
所以要使为增函数，则内层是增函数，
则
所以可得单调增区间为
故选：.
【点睛】
本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题
8、若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析：
由题意得，因为，，函数在区间内恒有，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
9、已知函数定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 由的定义域为，可得恒成立，分类：，及两种情况求出实数的取值范围．
详解：解：已知的定义域为，
即恒成立，
当时，不恒成立
，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
【点睛】
本题考查对数函数的性质和应用，以及通过二次函数恒成立问题求参数范围，考查计算能力.
10、函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： B
解析： 函数的值域为，即可取遍所有的值，
分三类讨论，结合图像即得解.
【详解】
函数的值域为，即可取遍所有的值；
（1）当时：满足条件；
（2）当时：；
（3）当时：不成立.
综上：.
故选：B
【点睛】
本题考查了复合函数的值域问题，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
11、若函数在区间有最小值，则实数=_______.
答案： 或2解析：
根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值.
详解：当时, 在为增函数,,求得,即;
当时, 在为减函数,,求得,即.
故答案为:或.
【点睛】
本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.
12、己知，若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
答案： C
解析： 因为函数在区间上单调递增，令根据复合函数的单调性有求解，要注意定义域.
【详解】
因为函数在区间上单调递增
令
所以
解得
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13、已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.
答案：
解析： 试题分析：将-1和1分别代入原函数，由，解方程可得a值；由题知，时，，要使函数存在最小值，只需解出a的取值范围即可.
详解：，
，
，
.
易知时，；
又时，递增，故，
要使函数存在最小值，只需，
解得：.
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查指数函数和对数函数的单调性和值域，属于基础题.
14、设，且.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在区间上的值域.
答案： （1），；（2）
试题分析：（1）由代入计算可得的值，根据对数的真数大于零，求出函数的定义域；
（2）由（1）可知，设，则，由的取值范围求出的范围，即可求出的值域；
详解：解：（1）∵，∴，∴，
则由，解得，即，所以的定义域为
（2），设，则，，当时，，
而，，∴，，
所以在区间上的值域为
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式，对数型复合函数的值域，属于中档题.
15、已知函数=其中且．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）若，求的取值范围．
答案： （1）定义域为：；（2）F（x）为偶函数
（3）当时，；当时，
试题分析：（1）根据定义域求法对数函数只需真数部分大于零；（2）判断奇偶性则先看定义域是否关于原点对称，然后计算即可得出结论；（3）解对数不等式则通过分析对数的单调性来解即可.
详解：（1），所以定义域为：
（2）设，因为
所以F（x）为偶函数
（3）当时，，，所以
当时，，，所以
综上，当时，；当时，
【点睛】
考查对数函数的定义和性质，属于基础题，只需掌握对数函数的定义要求和单调性判断即可得出结论.
16、已知，.
（1）若的定义域是，求的值；
（2）若，求的单调区间；
（3）若的值域是，求的取值范围.
答案： （1）（2）函数单增区间为，单减区间为（3）
解析： （1）因为的定义域是,所以的解集为,即可求得答案;
（2）当时,由,得定义域为,根据复合函数单调性同增异减,即可求得答案.
（3）由的值域是,可得可取到所有正值,分别讨论和,即可求得答案.
【详解】
（1）的定义域是
的解集为
,是的两根
将,代入,即:
解得:
（2）当时,由,得
定义域为
单调递减及图像开口向上且对称轴为
根据复合函数单调性同增异减可得:
函数单增区间为,单减区间为
（3）由的值域是
可得可取到所有正值
当时,,满足题意
当时,有,解得:
综上所述,
【点睛】
本题主要考查了求复合函数单调区间和根据值域求参数范围,解题关键是掌握复合函数单调区间的求法和函数值域的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
17、已知函数，其中实数且.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
答案： (1);(2)
试题分析：(1)代入,根据对数函数的单调性求解即可.
(2)先根据区间结合定义域可求得的大致范围,从而确定的单调性,再根据复合函数的单调性确定的取值范围即可.
详解：(1)当时,,故即,即,
,解得.故解集为.
(2)由定义域可知,,即在区间上恒成立,故,所以为减函数.又在区间上为减函数,故在区间上为增函数.满足题意.故
【点睛】
本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.
18、已知函数.
（1）若是偶函数，求实数的值；
（2）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求的范围.
答案： （1）；（2）
试题分析：（1）根据偶函数定义得到，化简得到答案.
（2）根据函数单调性和得到，设得到，画出函数的图像得到答案.
详解：（1），，
即，化简得到
（2），函数单调递增，且，
，故
设，，即，画出的图像，如图所示：
根据图像知，解得，即
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，根据方程解的个数求参数，画出函数图像是解题的关键.
19、已知函数
（1）当时，解不等式
（2）若关于的方程的解集中怡好有一个元素，求的取值范围；
（3）设若对任意函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
答案： （1）或；（2）或或；（3）
试题分析：（1）当时，解对数不等式即可．
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可．
（3）根据条件得到恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．
详解：解：（1）当时，，
由，得，
即，
解得或，
即不等式的解集为或；
（2）由得．
即，
即，①
则，
即，②，
当时，方程②的解为，代入①，成立
当时，方程②的解为，代入①，成立
当且时，方程②的解为或，
若是方程①的解，则，即，
若是方程①的解，则，即，
则要使方程①有且仅有一个解，则．
综上，若方程的解集中恰好有一个元素，
则的取值范围是或或．
（3）函数在区间上单调递减，
由题意得，
即，
即即
设，则，
，
当时，，
当时，，
在上递减，
，
，
∴实数的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
