专题13：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈三角函数综合应用解析版
展开三角函数综合类问题
一、选择、填空
1、设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的一个周期为. B．的图象关于直线对称.
C．的一个零点为 D．在上单调递减.
答案： D
解析： A．根据周期公式进行计算并判断；B．利用对称轴对应的是最值进行计算并判断；C．计算是否为零并判断；D．根据正弦函数的单调性进行判断.
【详解】
A．因为，故正确；
B．因为是最小值，所以是对称轴，故正确；
C．因为，所以是的一个零点，故正确；
D．令，所以，
令，所以，所以在上递减，在上递增，故错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质判断，其中涉及到周期、对称性、单调性、对称中心等知识点，难度一般.注意正、余弦函数的对称轴对应的是函数的最值，正、余弦函数的对称中心的横坐标是函数的零点.
2、设函数的图象为，有如下结论：
①图象关于直线对称；
②的值域为；
③函数的单调递减区间是；
④图象向右平移个单位所得图象表示的函数是偶函数.
其中正确的结论序号是__________.（写出所有正确结论的序号）.
答案： ①②④
解析： 利用正弦型函数得性质直接判断即可.
详解：当时，，取得最大值，故①正确；
因为的最大值为2，最小值为，所以的值域为，故②正确；
令，得，
即的单调递减区间是，故③错误；
图象向右平移个单位得是偶函数，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.
3、函数的图象向左平移个单位后得到偶函数的图象，则函数在上最大值为________.
答案：
解析： 根据三角函数图象平移变换可知，再根据正弦型三角函数的奇偶性可知，，即.利用正弦型三角函数的图象与性质，求解即可.
详解：由题意可知，平移得到的图象对应的解析式为，
因为为偶函数
所以，其中.即
因为，所以.
当时，，
所以.
即的最大值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦型三角函数的图像与性质，属于中档题.
4、函数，下列结论正确的是（ ）
A．向右平移个单位，可得到函数的图像
B．的图像关于中心对称
C．的图像关于直线对称
D．在上为增函数
答案： C
解析： 利用三角函数的图像与性质逐一判断即可.
详解：将向右平移个单位得到的函数为，故A错误；
因为，所以的图像不关于中心对称，故B错误；
因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；
当时，，故D错误
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角函数的图像和性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
二、解答题
1、已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，求函数的最小值，并求出使取得最小值时相应的值.
答案： （1）（2）（3）函数的最小值是，此时，或.
试题分析：（1）根据三角函数周期公式即可求函数的最小正周期；
（2）根据三角函数周单调性即可求函数的单调增区间；
（3）求出角的范围，结合函数的单调性即可得到结论．
详解：
（1）对于函数，它的最小正周期为
（2）令，
求得，即.
所以，函数的单调递增区间是.
（3）∵，∴，即
所以函数的最小值是，此时，或.
点睛：本题主要考查三角函数的性质，要求熟练掌握三角函数的周期公式，单调性和值域的求解．
2、已知函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍，所得图像为函数的图像.
（1）写出g(x)的解析式；
（2）用“五点描点法”画出的图像（）.
（3）求函数图像的对称轴，对称中心.
答案： （1）；（2）详见解析；（3）对称轴，对称中心，.
试题分析：（1）根据图像的伸缩变换得到g(x)的解析式；
（2）利用“五点法”作图得到的图像（）；
（3）求出图像的对称轴，对称中心.
详解：（1）∵函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍，
∴
(2)绘制表格如下：
x | 0 | |||||
0 | 0 |
(3)根据图象易得：对称轴，对称中心，
【点睛】
本题考查了图像的伸缩变换，五点法作图，以及正弦型函数的对称性，考查推理能力及运算能力，属于中档题.
3、已知函数.
（1）求函数的对称轴；
（2）当时，求函数的最大值与最小值.
答案： （1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.
试题分析：（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.
（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.
详解：（1）函数.
令()，解得()，
所以函数的对称轴方程为：().
（2）由于，
所以，
故.
则：
故当时，函数的最小值为.
当时，函数的最大值为2.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.
4、已知函数（）
（1）求的单调递增区间；
（2）试给出m的一个值，使得在上有两个零点，并说明理由．
答案： （1），；（2），理由见详解.
试题分析：（1）本小题运用整体代入法根据的性质直接解不等式，即可解题；
（2）本小题先将在上有两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，再根据的单调性取m的范围，即可解题.
详解：解：（1）∵当，时，函数的单调递增，
∴当，即，时，函数的单调递增，
∴函数的单调递增区间是：，.
（2）当时，在上有两个零点，
要使得在上有两个零点即就是函数与函数的图象有两个交点，
由（1）可得：在单调递增，在单调递减，
，，，
∴当时，函数与函数的图象有两个交点，
∴当时，使得在上有两个零点，
当时，使得在上有两个零点.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，整体代入法，函数的零点求参数，是中档题
5、己知函数（）图象上任意两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值和的单调递增区间；
(2)若，求的值域.
答案： (1)，，；(2).
解析：
（1）由函数（）图象上任意两条相邻对称轴间的距离为，可知，即有求解.此时，，用整体思想，利用正弦函数的单调性，令求解其单调区间.
（2）利用整体思想，由时，得到，从而由正弦函数的值域可得从而得到的值域.
【详解】
（1）因为函数（）图象上任意两条相邻对称轴间的距离为，
所以，即，可得，
所以，，
令
可得，
所以函数的单调递增区间是，
（2）)当时，
所以，
所以，
即函数的值域为
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象和性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6、函数，的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求函数的解析式及单调增区间；
（2）求当时，的值域．
答案： （1），；（2）
解析： （1）由最低点为，得到，再由相邻两个交点之间的距离为
所以，得到，又因为由点在图象上，代入求解，得到；利用整体思想，由来求单调增区间.
（2）由，，得到，利用整体思想转化，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】
（1）由题意得，由最低点为，得，
因为相邻两个交点之间的距离为
所以，∴．
因为由点在图象上，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以时，，
所以．
由，
得，
∴函数的单调区间是．
（2）∵，，
∴
当，即时，取得最大值2；
当，时，取得最小值1，
故的值域为．
【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式的求法及单调性怀最值的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
7、已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）若在区间上单调递增，求实数的最大值.
答案： （1）；（2）
解析：
（1）根据最高点可知振幅，相邻最高点及零点可知函数周期及，代入最高点坐标结合可求出（2）求出函数的单调增区间，根据是所求增区间子集即可求解.
【详解】
（1）∵图象最高点坐标为，
∴.
∵，
∴，
∴.
∴，代入点，得.
∴.
又∵，
∴，
∴.
（2）∵函数的增区间满足，
∴，
∴，
∴增区间为.
由已知，∴，即，
故实数的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式，正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
8、已知函数，.
（1）求的最小正周期和值域；
（2）若()为的一个零点，求的值.
答案：
（1）最小正周期为，；（2）.
试题分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式将化简，根据正弦函数图象及性质即可求得的最小正周期和值域；
（2）由，求得，由的取值范围，即可求得的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得的值，，根据两角和的正弦公式即可求得的值.
详解：解：（1），
，
，
，
所以的最小正周期为，
由，
，
∴的值域为.
（2）由，
得，
又由，得，
∴，
∴，
则，
，
，
.
【点睛】
本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、辅助角公式、正弦函数图象及性质，是中档题.
9、已知函数．
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若，，求的值．
答案：
（1）最大值为，最小值为；（2）.
试题分析：(1)由辅助角公式对函数解析式进行化简，求出的取值范围，从而可求出函数的最值.
(2)结合同角三角函数的基本关系可求出，结合二倍角公式可求出，，由两角差的正弦公式即可求出的值.
详解：解：
．因为，所以，
所以，所以，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
（2）因为，，所以，
所以，，
所以
．
【点睛】
本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最值的求解，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了两角差了正弦公式，属于中档题.
10、已知函数在区间的值域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，，求的值.
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）利用诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角公式化函数为形式，然后利用正弦函数性质求得的范围；
（2）由，求出（先确定的范围），再由两角差的余弦公式求解．
详解：（1）
由题意得：当时，
令，
所以，，所以，.
（2）由题意得，，则，
所以，，
所以，.
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式．三角函数问题一般都是利用三角函数恒等变换公式化函数为形式，然后利用正弦函数性质求解．在利用平方关系求值时要注意确定角的范围．
11、已知函数
（1），求的值
（2）设，若在区间上是单调函数，求的最大值.
答案： （1）（2）
试题分析：首先利用二倍角余弦公式公式以及诱导公式化简为，
（1）由，代入表达式，根据特殊角的三角函数值，结合角的范围即可求解.
（2）求出，由的取值范围可得，根据在区间上是递减函数，在区间上是递增函数，只需，解不等式即可求解.
详解：解析：
（1）因为，所以.
因为，所以.
所以，解得.
（2）
因为，，所以.
因为在区间上是单调函数，且在区间上是递减函数，在区间上是递增函数，所以，解得，故的最大值是.
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、三角函数的性质，需熟记公式，属于基础题
12、已知函数.
（1）求在区间上的值域；
（2）若，且，求的值.
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）首先化简，再求出，从而得到函数的值域.
（2）首先根据已知得到，从而得到，再将计算即可得到答案.
详解：（1）
.
因为，所以，
所以.
故在区间上的值域是.
（2）由，知，
又因为，所以.
故
.
【点睛】
本题主要考查三角函数的值域和三角函数的恒等变换，同时考查学生的计算能力，属于简单题.
13、设，函数，.
（1）若，求在区间上的最大值.
（2）若，求与的值.
答案： （1）；（2），，，.
试题分析：（1）利用两角和的正弦公式化简式子可得，然后计算的范围，简单判断可得结果.
（2）根据，可得且，然后简单计算即可.
详解：（1）
所以
因为，所以，.
又，所以.
因此的最大值为.
（2），
则且，
所以，，从而，，
即，.
【点睛】
本题考查两角和的正弦公式以及正、余弦函数的性质，掌握公式，细心观察，属基础题.
14、已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.
答案： （1）2；（2）；，；（3）.
试题分析：（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，即可代入，求出结果；
（2）根据最小正周期的公式即可计算出周期，令可解出单调递增区间；
（3）先求出解析式，则该题等价于在上有且仅有两个实数，满足，结合函数图象即可求出范围.
详解：（1）∵函数，
∴，故
（2）由函数的解析式为可得，它的最小正周期为.
令，求得，
可得它的单调递增区间为，.
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
若函数在上有且仅有两个零点，
则在上有且仅有两个实数，满足，即.
在上，，
∴，求得.
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查最小正周期和单调区间的求解，考查三角函数的零点问题，属于中档题.
15、函数的部分图像如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范围；
（3）求实数的正整数，使得函数在上恰有2021个零点．
答案： （1）；（2）；（3）或时，；时，．
试题分析：（1）根据图象，分析函数的周期，求，利用“五点法”中的值求，得到函数的解析式；
（2）首先求的范围，再利用二次函数恒成立问题，列式求的取值范围；
（3）首先将零点问题转化为函数的图像与直线在上恰有2021个交点，再讨论的取值范围，确定的值.
详解：（1）由图可得，即，，
∴，∴，，
∴，．
（2）∵，∴，∴，
令，则由题意得恒成立，
由二次函数图像可知只需，，
解得．
（3）由题意可得的图像与直线在上恰有2021个交点．
在上，，
①当或时，的图像与直线在上无交点．
②当或时，的图像与直线在仅有一个交点，
此时的图像与直线在上恰有2021个交点，则．
③当或时，的图像与直线在恰有2个交点，
的图像与直线在上有偶数个交点，不可能有2021个交点．
④当时，的图像与直线在恰有3个交点，
此时，才能使的图像与直线在上有2021个交点．
综上可得，当或时，；当时，．
【点睛】
本题考查三角函数的解析式和性质，不等式恒成立，以及根据函数零点求参数的取值范围，属于中档题型，本题的难点是第三问，需根据三角函数的图形，讨论的取值范围.
