2020-2021学年天津市东丽区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年天津市东丽区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，，利用并集运算得到，然后再利用补集运算求解.

【详解】∵，，

∴，

又∵，

∴.

故选：B

2．“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】试题分析：由不等式的性质知“”是真命题，但反过来，若，不能得出，如，但，因此选A.

【解析】充分必要条件.

3．下列幂函数在区间内单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由幂函数的知识可直接选出答案.

【详解】、、在区间内单调递增，在区间内单调递减

故选：D

4．设，，，则a，b，c大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.

【详解】，，

.

所以.

故选：A

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正切的二倍角公式算出答案即可.

【详解】

故选：B

6．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.

【详解】∵a>1，∴0<<1，

∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，

故选：C.

【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.

7．已知α是第一象限角，若，那么是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】由是第一象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．

【详解】是第一象限角，，

.

当是偶数时，设，则，

此时为第一象限角；

当是奇数时，设，则，

此时为第三象限角.

综上所述，为第一象限角或第三象限角，

，，为第三象限角．

故选：C．

8．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.

故选：B.

【点晴】

本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B选项的正误.

【详解】对于A选项，因为正弦函数在上单调递增，

且，则，A选项错误；

对于B选项，因为余弦函数在上为减函数，

，，

，则，即，B选项错误；

对于C选项，当时，正切函数单调递增，

因为，所以，，C选项错误；

对于D选项，因为正弦函数在上单调递增，

因为，所以，，D选项正确.

故选：D.

【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

二、填空题

10．命题，的否定形式为____．

【答案】．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出答案.

【详解】命题，的否定形式为: ，

故答案为：

11．计算：____．

【答案】

【分析】利用对数、根式的运算性质计算可得结果.

【详解】.

故答案为：.

12．计算：__________.

【答案】4

【详解】

13．已知函数，方程有两个实数解，则的范围是____．

【答案】

【分析】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，

作出直线与函数的图象如下图所示：

由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、双空题

14．设，在____时y的最小值等于____．

【答案】    ．   

【分析】由可得，利用基本不等式可求最值，当且仅当时可求出此时的值.

【详解】因为，所以，

，

当且仅当即时等号成立，

所以在时y的最小值等于，

故答案为：； .

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

15．函数的定义域是____，最小正周期是____．

【答案】       

【分析】解出不等式可得定义域，周期可直接求出.

【详解】由解得

所以的定义域是

最小正周期是

故答案为：；

四、解答题

16．已知集合，．

（1）求集合A、B；

（2）求．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）利用对数函数和指数函数的知识解出集合A、B中的不等式即可；

（2）首先求出，然后可得答案.

【详解】（1）

①时，

②时，

所以

．

，即

（2）

所以

17．已知．

（1）求值：；

（2）求值：．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用齐次式即可求解.

（2）利用诱导公式以及两角和的正切公式即可求解.

【详解】（1），

，

原式=.

（2）

.

18．已知函数．

（1）当，解关于x的不等式；

（2）设函数，若的最小值为2，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；

（2）利用均值不等式求出函数最小值解出a,再根据对勾函数的单调性求最大值即可.

【详解】（1）

．

．

或．

（2）

．

当且仅当时取等号，即取最小值．

，解得，

在为减函数，为增函数，

．

19．已知，．

（1）求证：．

（2）若为第一象限角，为第四象限角，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）分别将已知条件展开，两式相减、相加可得，的值，两式相除即可求证；

（2）利用同角三角函数的平方关系结合角所在的象限求出、的值，利用即可求解.

【详解】（1）由题意可得：

得

得．

得：，即

（2）若为第一象限角，

因为为第四象限角，

，

.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是灵活运用同角三角函数基本关系，要证，化切为弦即证，所以想到将已知条件展开，给值求值型的关键是用已知角表示所要求的角，即.

20．已知函数的最大值为1

（1）求常数m的值；

（2）当时，求函数的单调递增区间．

【答案】（1）；（2），．

【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用三角函数的性质即可求解.

（2）利用正弦函数的性质可得，解不等式即可求解.

【详解】（1）

，

．

（2）

设，

又，与集合取交集可得.

的单调递增区间为，