专题11：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈三角函数诱导公式及恒等变换解析版

诱导公式和恒等变换

一、诱导公式化简与求值

1、已知，则等于（    ）

A． B． C． D．

答案： D

解析： 利用诱导公式化简，原式，之后利用同角三角函数关系式求得结果.

详解：原式

，

由，得，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.

2、已知，则（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 根据题意可判断，再根据诱导公式和同角三角函数关系可化简.

详解：由题意，

故选：

【点睛】

本题考查诱导公式化简三角函数，属于基础题.

3、已知角满足，则表达式的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 分类讨论为奇数与偶数两种情况，原式利用诱导公式化简，计算可得到结果.

详解：当为奇数时，原式；

当为偶数时，原式.

∴原表达式的取值集合为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解题的关键.

4、已知，且，则的值为（ ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： ,所以，

，故选A.

考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.

5、已知角的终边经过点.

（1）求的值；

（2）求的值.

答案： （1）；（2）

试题分析：（1）直接利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

（2）利用诱导公式化简所给的式子，再把代入，求得结果．

详解：解：（1）因为角的终边经过点

由三角函数的定义可知．

（2）由（1）知，

．

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题

6、已知函数.

（1）若角的终边经过点，求的值；

（2）若.且角为第三象限角，求的值.

答案： （1）（2）

试题分析：（1）根据诱导公式化简解析式，再根据三角函数定义求解，即可求解.

（2）由（1）可化简和，根据同角三角函数关系式，即可求解.

详解：解：（1）；

∵角的终边经过点，；

.

（2）由，

.

∴由

又∵角为第三象限角，

【点睛】

本题考查（1）诱导公式（2）与关系的常用公式；考查计算能力，属于基础题.

7、已知，则的值等于　　

A． B． C． D．

答案： C

解析： 根据，将所求式子中的角变换后，利用诱导公式变形后，将已知的等式代入即可求出值．

详解：解：因为，所以

故选：C

【点睛】

本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题．

8、已知，则（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.

【详解】

，故选C.

【点睛】

本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.

9、若，则（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 根据题意，可知，运用诱导公式，即可求解.

详解：，

故选：

【点睛】

本题考查三角函数组合角的诱导公式，属于基础题

10、已知，则的值为______.

答案：

解析： 利用诱导公式可得,且,进而求解即可.

详解：由题,,

所以

,

故答案为:

【点睛】

本题考查利用诱导公式求三角函数值,考查运算能力.

11、已知，则的值为________.

答案：

解析：

展开得到，根据诱导公式得到，得到答案.

详解：，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12、已知.

（1）化简；

（2）若，求的值.

答案： （1）（2）

试题分析：（1）利用诱导公式化简求解即可；

（2）由可得,两边同时平方后可求得,进而求得,再由,代入求解即可.

详解：解：（1）.

（2）,

两边平方得,

,

又,,

,

,

.

【点睛】

本题考查利用诱导公式化简,考查同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.

13、设，，，，均为实数，若，则__________.

答案： 8

解析： 由结合诱导公式，可得1，可得答案.

详解：由，有

.

即.

又

.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查利用诱导公式进行化简求值，整体代换的方法，属于中档题.

二、和差公式

1、       ．

答案：

解析：

2、（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 利用两角和差正弦公式拆开，化简知原式等于，进而得到结果.

详解：.

故选：.

【点睛】

本题考查利用两角和差正弦公式化简求值的问题，属于基础题.

3、已知，，，则（   ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 本题可以先通过题意计算出以及的值，

再通过解得的值．

详解：因为，

所以

故选B．

【点睛】

在计算三角函数的时候，对于公式的灵活运用十分重要，比如说即可化简成的值．

4、已知，则

A． B． C． D．

答案： D

解析：

因为，结合及，得，又，所以，所以

故选D．

考点：1、同角三角形的基本关系；2、两角差的正弦公式；3、拆角凑角法.

【思路点睛】本题考查了同角三角形的基本关系、两角差的正弦公式与拆角凑角法在三角函数中的应用，

重点考查学生综合知识的能力和创新能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据同角三角函数的基本

关系并结合已知条件可求出的值，然后运用拆角公式并结合两角差的正

弦公式即可计算出所求的结果.

5、已知是方程的两根，且，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．

答案： A

解析： ∵是方程的两根，

∴，

∴．

又，

∴，

∵，

∴又，

∴，

∴．选A．

点睛：解决三角恒等变换中给值求角问题的注意点

解决“给值求角”问题时，解题的关键也是变角，即把所求角用含已知角的式子表示，然后求出适合的一个三角函数值．再根据所给的条件确定所求角的范围，最后结合该范围求得角，有时为了解题需要压缩角的取值范围．

6、已知，，则（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 根据，利用商数关系得到，再结合，分别求得，，再利用的余弦和的公式求解.

详解：因为，

所以，

又，

所以，

，

所以.

故选：B

【点睛】

本题主要考查商数关系和两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7、在中，，则（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 利用降幂公式得，又由化简可得，所以，从而可得答案

详解：解：由，得，

因为,

所以,

,

，

所以，

因为，

所以，所以，

故选：B

【点睛】

此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于基础题

8、已知，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.

答案： （1）；（2）.

试题分析：（1）由已知可求范围，，由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．

（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，又，利用两角差的正弦函数公式即可计算求解．

详解：解：（1）因为，

所以

所以，

又因为，且，

所以.

（2）因为，且，所以，

因为，

所以.

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

9、（1）已知是第三象限角，且，求的值；

（2）已知，为锐角，，，求.

答案： （1）；（2）.

试题分析：（1）对式子两端平方后可得，继而可求得

，最后得出的值；

（2）结合已知条件利用进行计算即可得解.

详解：（1）由题可得，

所以，

所以，

∵是第三象限角，

∴；

（2）∵为锐角，，∴，

∵，，

∴，，

∴

，

∵为锐角，∴.

【点睛】

本题考查同角三角函数关系式的应用，考查两角差的正弦公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，其中属于此类题常见角的变形，属于常考题.

三、二倍角公式

1、若，则（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： ，由此能求出结果．

详解：解：，

．

故选：．

【点睛】

本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．

2、已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

答案： D

解析： 由，利用二倍角公式计算即可.

详解：.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换的应用，涉及到配角技巧及倍角公式等知识，考查学生基本计算能力，是一道基础题.

3、若，则________.

答案：

解析： 直接利用二倍角公式计算得到答案.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二倍角的计算，意在考查学生的计算能力.

4、已知，则（    ）．

A． B． C． D．

答案： A

解析： 详解：.

所以选A.

【点睛】

本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题

5、已知，则（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 根据，利用二倍角的余弦公式结合平方关系和商数关系，将转化为正切的齐次式求解.

详解：因为，

所以，

故选：B

【点睛】

本题主要考查二倍角公式公式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6、已知角的终边与单位圆交于，则等于（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 由任意角三角函数定义可得，然后结合诱导公式和余弦的二倍角公式可得结果.

详解：由任意角三角函数定义可得，

则，

故选：A.

【点睛】

本题考查任意角的三角函数定义和诱导公式以及余弦的二倍角公式的应用，属于基础

7、已知，且，则       .

答案：

解析：

，且，所以,

.

8、若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案.

详解：，

.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

9、已知，则等于（  ）

A． B．-8 C． D．8

答案： B

解析： 分析：由，利用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式，化简可得，平方可得，化简，从而可得结果.

详解：

，

，

，

，

，故选B.

点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式以及同角三角函数之间的关系，综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

10、若，则（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 由二倍角公式及诱导公式可知，由已知可求出的值.

详解：解：

.

故选:B.

【点睛】

本题考查了二倍角公式，考查了诱导公式.本题的关键是熟练掌握公式对所求式子进行变形.

11、已知，则__________.

答案：

解析：

利用，求得的值.再根据诱导公式求得的值.

详解：依题意，而.

【点睛】

本小题主要考查三角函数二倍角公式，考查三角函数诱导公式，考查三角恒等变换，属于基础题.

12、已知是第三象限角，且，则(    )

A． B． C．或 D．

答案： B

解析：

将变形为,然后利用诱导公式和二倍角公式求解即可.

【详解】

,是第三象限角,

,

,

故选:B.

【点睛】

本题考查三角恒等变换的综合应用,需要学生对相关公式熟练掌握且灵活应用.

13、已知，则的值是______.

答案：

解析： 根据两角和差正切公式可构造方程求得或；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将化为，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为，代入即可求得结果.

详解：

解得：或

当时，

当时，

综上所述，

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式.

14、已知，求的值.

答案：

试题分析：由已知条件结合两角和的正切公式可求出，结合二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系可将原式整理得，分子分母同时除以可得，代入即可求出最后结果.

详解：解：，解得，所以

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查二倍角公式，考查了两角和的正切公式.本题的难点是对所求式子进行变形整理.

15、已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

答案： （1）（2）12

试题分析：详解：

(1)利用题意可知，结合两角和差正余弦公式可得．

(2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12.

试题解析：

（1）由

所以．

则

（2）因为，．

所以．

16、已知

（1）求的值;

（2）求的值.

答案： （1）；（2）.

试题分析：（1）先求出的值，再求出后可得的值；

（2）先求出，再利用二倍角公式化简三角函数式，代入前面的结果可得所求的值.

详解：（1）对于，两边平方得，所以，

∴，

∵，，，

；

（2）联立，解得，

∴原式＝.

【点睛】

本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于中档题题.

四、恒等变换

1、______.

答案：

解析： 观察角之间的特殊关系：，，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解.

【详解】

原式

.

故填：.

【点睛】

本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.

2、若，则的一个可能值为（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得，即可得出答案．

详解：解：，

，

的一个可能值为.

故选：C．

【点睛】

本题考查利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，考查计算能力，属于基础题．

3、计算（    ）．

A．4 B． C． D．2

答案： C

解析： 切化弦后根据二倍角公式及辅助角公式化简即可求值.

详解：．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了三角恒等变形，涉及二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，属于中档题.

4、已知和是方程的两个根，则的关系是（ ）

A． B．

C． D．

答案： C

解析：

,故选C．

考点：1、韦达定理的应用；2、两角和的正切公式及数学的转化与划归思想.

【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用、两角和的正切公式及数学的转化与划归思想.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.

5、化简：（1）；

（2）已知为第三象限角，化简：．

答案： （1）1（2）

试题分析：（1）把正切化成正弦与余弦的商的形式，利用辅助角公式、诱导公式、二倍角的正弦公式求解即可；

（2）利用同角的三角函数关系的平方和关系，结合二次根式化简的方法及性质进行求解即可.

详解：（1）

（2）

因为第三象限角，所以上式．

（结果写作：也算对）

【点睛】

本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了辅助角公式，考查了二次根式的化简，考查了数学运算能力.

6、化简求值

（1）已知，，且，，求的值.

（2）

答案： （1）（2）

解析： （1）根据角的变换，利用两角和的正切，由，，求得再求得，利用为，，，确定，相对小的范围，进而确定的范围来确定角的取值.

（2）先利用正切化正弦，余弦，然后通分，利用两角和与差的正弦函数公式的逆用，再用诱导公式化简求值.

【详解】

（1）因为

所以

又因为，，

所以

所以

所以

（2）

【点睛】

本题主要考查了三角恒等变换中的求值求角问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.

7、求值：.

答案： 1

试题分析：将所求关系式中的正切和余切化为正弦和余弦，通分，逆用二倍角的正弦及和两角和差正余弦和差公式即可求出答案.

详解：解：原式的分子

，

原式的分母

，

所以原式.

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，将所求关系式的正余切化为正余弦函数后通分是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.

8、求值：

（1）；

（2）；

（3）.

答案： （1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）利用二倍角的正弦、余弦公式结合辅助角公式化简可得结果；

（2）利用两角和正切公式变形，将所求代数式化简计算可得结果；

（3）将所求代数式变形为，利用二倍角正弦的降幂公式结合诱导公式化简可求得所求代数式的值.

详解：（1）

；

（2），

，

因此，；

（3）

.

【点睛】

本题考查三角代数式求值，考查二倍角公式、两角和的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题.