人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教学设计

这是一份人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教学设计，共8页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。


它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.
课程目标
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．
3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．
数学学科素养
1.逻辑推理： 三角恒等式的证明；
2.数据分析：三角函数式的化简；
3.数学运算：三角函数式的求值.
重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；
难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
前面已经学习过二倍角公式，那么如何用cs α表示sin2eq \f(α,2)，cs2eq \f(α,2)和tan2eq \f(α,2)？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本225-226页，思考并完成以下问题
1. 半角公式是什么？
2. 辅助角公式是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．半角公式
2．辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ)(其中tan θ＝eq \f(b,a))．
四、典例分析、举一反三
题型一 化简求值问题
例1 设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A．eq \f(\r(1＋a),2) B．eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2)D．－eq \r(\f(1－a,2))
【答案】D
【解析】∵5π＜θ＜6π，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).
又cseq \f(θ,2)＝a，∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).
解题技巧：（利用半角公式化简求值）
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用
计算．
提醒：已知cs α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
跟踪训练一
1．已知sin α＝－eq \f(4,5)，π＜α＜eq \f(3π,2)，求sin eq \f(α,2)，cs eq \f(α,2)，tan eq \f(α,2)的值．
【答案】sin eq \f(α,2)＝eq \f(2\r(,5),5)，cs eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(,5),5)，tan eq \f(α,2)＝－2.
【解析】 ∵π＜α＜eq \f(3π,2)，sin α＝－eq \f(4,5)，
∴cs α＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，
∴sin eq \f(α,2)＝eq \r(,\f(1－cs α,2))＝eq \f(2\r(,5),5)，
cs eq \f(α,2)＝－eq \r(,\f(1＋cs α,2))＝－eq \f(\r(,5),5)，
tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－2.
题型二 三角恒等式的证明
例2 求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
【答案】证明略.
【解析】证明： 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)cs α
＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
∴原式成立．
解题技巧：(三角恒等式证明的常用方法)
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
跟踪训练二
1.求证：eq \f(2sin xcs x,（sin x＋cs x－1）（sin x－cs x＋1）)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
【答案】证明略.
【解析】 证明： 左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))
＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))
＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．
所以原等式成立.
题型三 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
例3已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))－sin xcs x＋eq \f(1,4).
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
【答案】 (1)函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为eq \f(\r(,2),2).
(2)函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,8)，kπ－\f(π,8)))，k∈Z.
【解析】 (1)∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))－eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1,4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x－\f(\r(,3),2)sin x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(,3),2)sin x))－eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1,4)
＝eq \f(1,4)cs2x－eq \f(3,4)sin2x－eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1,4)
＝eq \f(1＋cs 2x,8)－eq \f(3－3cs 2x,8)－eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(1,4)
＝eq \f(1,2)(cs 2x－sin 2x)＝eq \f(\r(,2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为eq \f(\r(,2),2).
(2)由2kπ－π≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ，k∈Z，
得kπ－eq \f(5,8)π≤x≤kπ－eq \f(π,8)，k∈Z.
函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,8)，kπ－\f(π,8)))，k∈Z.
解题技巧：（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
↓
统一化成f(x)＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式
↓
eq \x(\a\al(利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）,＋k的形式，研究其性质))
跟踪训练三
1．已知函数f(x)＝2eq \r(,3)cs2x＋sin 2x－eq \r(,3)＋1(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，求f(x)的值域．
【答案】(1)最小正周期为T＝π.
(2)函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．
(3)值域为[0，3]..
【解析】f(x)＝sin 2x＋eq \r(,3)(2cs2x－1)＋1＝sin 2x＋eq \r(,3)cs 2x＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得2kπ－eq \f(5π,6)≤2x≤2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
∴kπ－eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．
(3)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
∴f(x)∈[0，3].
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
5.5.2 简单的三角恒等变换
1.半角公式 例1 例2 例3
2.辅助角公式




七、作业
课本228页习题5.5.
本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心，求知欲、创设和谐、融洽、欢快的人为氛围，让学生自主地学，在学习中展现个性、表现个性、培养个性、塑造个性.