高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换教学设计

课程目标

学科素养

1.了解两角差的余弦公式的推导过程．

2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的

余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．

3． 熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式

的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的

变换的常用方法．

4.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生

数形结合和类比的思想方法。

a.数学抽象：公式的推导；

b.逻辑推理：公式之间的联系；

c.数学运算：运用和差角角公式求值；

d.直观想象：两角差的余弦公式的推导；

e.数学建模：公式的灵活运用；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）创设问题情境

提出问题

  １.两角差的余弦公式

    如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？

下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系

      不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点 重合．根据圆的旋转对称性可知，

与重合，从而， 所以AP＝

根据两点间的距离公式，得

+=+，
化简得:
=+
当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角α，β有
=+ （Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，

称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).

典例解析

例１ 利用公式证明：
（１）= ; （２）= ．

证明: (1)= +

=0＋1×=．
(2)== +

=(-1)×．＝－ ．

例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值．

解：由，∈(,),得
又由，是第三象限角，得．
所以=+

=() ×()+() ×()=

由公式 出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？

下面以公式 为基础来推导其他公式 ．

例如 ， 比较 与 ，并注意到 α ＋ β 与

之间的联系 ：＝则由公式   ，

有=＝+=

于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ．

=．

问题探究

     上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？

通过推导 ， 可以得到 ：

＝ ，（ S（α ＋ β ） ）

＝ ; （ S（α － β ） ）

      你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示  ，  的公式吗 ？

通过推导 ， 可以得到 ：

    T(α + β )

     T(α β )

 和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式

    公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ．

类似地 ， Ｓ(α －  β ) ， Ｃ(α －  β ) ， Ｔ(α －  β )都叫做 差角公式 ．

典例解析

例3. 已知，，求的值 ．

解 ： 由 ，，

得

所以 = = -
于是有

)=

)=

7

   由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有 ． 那么对于任意角α ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明?

例 ４　 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：

（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;

（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;

（ 3 ） ;

分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ． 如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．

解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得

sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=

（2） 由公式 C（α +β ） ， 得

cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0

（3） 由公式 T（α +β ）及， 得

=== =

通过开门见山，提出问题，利用坐标法，推导两角差的余弦公式，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。

通过对两角差的余弦公式的运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

通过其它和差角公式的推导和应用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

三、当堂达标

1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　)

A．cos 100°　　　B．sin 100°          C．           D．

【解析】　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.

【答案】　C

2.已知α是锐角，sin α＝，则cos等于(　　)

A．－        B．       C．－         D．

【解析】　因为α是锐角，sin α＝，

所以cos α＝，所以cos＝×－×＝.故选B．

【答案】　B

3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于(　　)

A．          B．－  C．          D．－

【解析】　因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝.

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝.故选A．

【答案】　A

4．计算＝________.

【解析】　＝＝tan 45°＝1.

【答案】　1

5．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.

【解】　∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，

∴sin β＝，cos α＝.

∵sin α<sin β，∴α<β，∴－<α－β<0，

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，

∴α－β＝－.

通过练习巩固本节所学知识，巩固对和差和差距角公式的运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

四、小结

让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？

知识上：两角和差的公式

思想方法上：整体代换思想，转化思想。

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；