第08讲 函数的单调性-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第8讲：函数的单调性

一、课程标准

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义

2.掌握求函数的单调性的方法·

3.能处理函数的最值问题。

二、基础知识回顾

1. 函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．

2. 函数单调性的图像特征

对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．

3. 复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．

4. 函数单调性的常用结论

(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数；

<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．

(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

5.常用结论

1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；

(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

三、自主热身、归纳总结

1、函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是(　　)

A．递减函数　　　　　　　　 B．递增函数

C．先递减再递增函数  D．先递增再递减函数

2、函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)

A．2　　　　 B.　　　　

C.　　　　 D．－

3、设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )

A. y＝在R上为减函数　　　　　　　 

B. y＝|f(x)|在R上为增函数

C. y＝－在R上为增函数　　　　　　 

D. y＝－f(x)在R上为减函数

4、对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是　　

A． B． 

C． D．

5、已知函数，则　　

A．函数有两个不同的零点 

B．函数在上单调递增 

C．当时，若在，上的最大值为8，则 

D．当时，若在，上的最大值为8，则

6、函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间是          ；单调递减区间是         ．

7、已知f(x)＝(x≠a)，若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是     ．

8、函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．

三、例题选讲

考点一 函数的单调区间

例1、求下列函数的单调区间

(1)y＝－x2＋2|x|＋1；

(2)f(x)＝；

   （3）

变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　　 B.和[2，＋∞)

C．(－∞，1]和  D.和[2，＋∞)

变式2、已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－1]    B.[－1，＋∞)

C.[－1，1)    D.(－3，－1]

变式3、.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.

方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：

(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；

(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；

(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

考点二 复合函数的单调区间

例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)   D．(4，＋∞)

变式1、函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　)

A.   B.

C.(－2，3)   D.

变式2、函数f(x)＝2的单调递增区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

考点三  函数单调性的证明与判断

例3、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．

变式1、已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.

变式2、试讨论函数f(x)＝(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．

方法总结：　1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.

2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：

→→→→

其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．

考点四  函数单调性的应用

例4、已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．

变式1、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝则满足f(2x＋1)＜f(3x－2)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B．(3，＋∞)

C．[1，3)  D．(0，1)

变式2、已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.   B. 

C.   D.

变式3、如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.

变式4、【2019年天津理科06】已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

方法总结　1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.

3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

五、优化提升与真题演练

1、【2019年新课标1理科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

2、【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　　　）

A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]

3、已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f<f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1，1)  B．(0，1)

C．(－1，0)∪(0，1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4、函数的单调减区间为（   ）

A． B． C． D．

5、【2019年新课标3理科11】设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）

A．f（log3）＞f（2）＞f（2） 

B．f（log3）＞f（2）＞f（2） 

C．f（2）＞f（2）＞f（log3） 

D．f（2）＞f（2）＞f（log3）

6、【2017年浙江05】若函数f（x）＝x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　　　）

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

7、(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)

A．对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)

B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)

C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2＜0，都有f(x1)－f(x2)＜0

D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0

8、（2019·重庆南开中学模拟）若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．

9、定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．

10、设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________.

.

11、设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

12、已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．