高三数学 函数专题复习 六 函数的单调性

专题六 函数的单调性
模块一、思维导图



1． 函数单调性的定义
（1） 一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当时，都有（或都有，那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）．
（2） 如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说f（x）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做f（x）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．
2． 函数单调性的图象特征
对于给定区间上的函数f（x），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
3． 复合函数的单调性
对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
4．函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D上是增函数；0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为和．
(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．







模块二、考法梳理 函数单调性的判断与证明
考法一：单调性的判断
【例】判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．
【解析】函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上是单调减函数，证明如下：
设x1、x2∈[1，＋∞)，且x11a≥3-a∴32≤x1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1．f(x2)＝＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)