高三数学 函数专题复习 三 函数解析式

专题三 解析式
模块一、思维导图
函数的概念
设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域；与x的值对应的输出值y叫做函数值；
函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做函数的值域．
3．函数的三要素
函数的构成要素为定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域、值域和对应法则完全一致，我们称这两个函数是同一个函数．
4．函数的表示
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．
5．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

必考点1 函数的概念
【例】(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①y＝与y＝； ②y＝与y＝x－1；③y＝lnex与y＝elnx； ④y＝x0与y＝．
【解析】（1）(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝10舍去)，解得a＝2或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5．∴a＝2，k＝5．
（2）①由y＝与y＝化简为y＝x与y＝，两个函数的对应法则不相同，∴不表示同一函数．
②y＝的定义域为{x|x≠－1}，y＝x－1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．
③y＝lnex的定义域为R，y＝elnx的定义域为，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．
④y＝x0与y＝的定义域、对应法则完全相同，∴表示同一函数．故应填④．
巩固1．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，有以下4个对应法则：
①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝x＋4；④f：x→y＝4－x2，
其中不能构成从A到B的函数的是____________．(填序号)
【解析】　按函数的定义判断， ①②中的对应能构成从A到B的函数；而③中若x＝2，则y＝6∉B，④中若x＝2，则y＝0∉B，即③④中的对应不能构成从A到B的函数．故应填③④

巩固2．下列各组的两个函数中表示同一函数的是__________．
①y＝2log2x与y＝log2x2；②y＝x－2与y＝；
③y＝logaax(a>0，a≠1)与y＝；④y＝与y＝．
【解析】　①与④中的两个函数，其定义域不同，②中的两个函数，其值域不同，它们都要不是同一函数；而③中的两个函数，定义域和值均为R，其函数都可以等价转化为，它们是同一函数，故填③．

巩固3.（易错题）下列所给图形中是函数图象的个数为________．

【解析】①中的图形，直线与其有两个交点，不符合函数的定义，从而不是函数的图象，②中的图形，当时，对应的值有两个， 不符合函数的定义，也不是函数的图象， ③④中的图形都是函数的图象，故是函数图象的个数为2．
例题1 直线x=1和函数y=f(x)图象的交点个数为　　　　.
【答案】0或1
【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.
【小结】一定要考虑x=1在不在定义域内。

例题2 下列各组函数中，表示同一个函数的是________.
①和；
②和；
③和；
④和；
【答案】④
【解析】①定义域不一样，定义域是R，定义域是；
②定义域不一样的定义域是，的定义域是R；
③和的运算法则不一样；
④三者都一样。
【小结】相同函数
函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.
当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.


必考点2 函数的解析式
【例】根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3；
(2)已知f(＋1)＝x＋2；
(3)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
(4)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【解析】(1)(待定系数法)设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3
∴解得或．故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1．
(2)解法1(换元法)：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法2(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1．
(4)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1．

巩固1.已知f(x)=3x-2，则f(x)= ______ ．
【解析】令t=x(t≥0)，则x=t2，
所以f(t)=3t2-2(t≥0)，
所以f(x)=3x2-2，(x≥0)，

巩固2.函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=2x，则f(x)=________．
【解析】由题意知2f(x)+f(-x)=2x,2f(-x)+f(x)=-2x, 解得f(x)=2x．

巩固3.（易错题）已知函数满足=x3++1，求f（x）．
【解析】令，则当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以，
又，
∴，即．
∴，．
必考点3 分段函数
【例】(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______________；
(2)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是____________；
(3) 已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是______________．
【解析】(1)当a>0时，1－a1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－，不合题意．
当a1，1＋a0时，f(m)=2m+3=2，解得m=-12，不成立；
当m≤0时，f(m)=m2-2=2，解得m=-2或m=2(舍)．
综上，实数m的值为-2．

巩固3.已知函数f(x)=log2(2-x),x