高三数学 函数专题复习 十五 同角三角函数

专题十五  同角三角函数

模块一、思维导图

同角三角函数的基本关系：

(1)平方关系：；

(2)商数关系：(，)。

(3)几个常用关系式：，，三式之间可以互相表示。

推导：设，，则：；

。

模块二、考法梳理

考法一：公式的直接运用

1．若,为第二象限角,则    。

【解析】，且，为第二象限角，.

2．若，且为第四象限角，则的值等于     。

【解析】∵sina=,且a为第四象限角,∴，则，

3．已知，＝    。

【解析】由，得，即，代入，得，

，，为第三象限角，则．

4．若，，，则m的取值范围是________.

【解析】∵∴，∴

即即即

即，或因为，当时，，矛盾，所以故答案为：

考法二：弦的齐次

1．已知tanα，则    。

【解析】由题意，将分式的分子和分母都除以可得，

又tanα，所以，

2．若 ，则     。

【解析】由，得或，

所以，．

3．已知，则等于     。

【解析】，，

4．若＝2，则sinθcosθ的值是    。

【答案】

【解析】根据同角三角函数的基本关系式，可得，解得，

所以.

5．已知直线的倾斜角为，则      。

【答案】

【解析】由题设有，.

6．若，则______.

【答案】

【解析】因为且，所以，

.

故答案为：

7．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________．

【答案】

【解析】由得，∴，故．

∴．故答案为．

考法三：的关系

1．已知，则     。

【答案】

【解析】.

2．已知为第二象限角，且，则     。

【答案】

【解析】∵，平方得，∴2cossin＝﹣

∴，

∵为第二象限角，∴

3．已知，则     。

【答案】

【解析】因为，所以，即，

又因为，所以，

所以，即所以，

所以得到，，所以，

4．已知的值为      。

【答案】2

【解析】∵，∴，∴，

∴．

5．已知，是方程的两个根，则     。

【答案】

【解析】，是方程的两个根，则，

，验证满足

考点14 同角三角函数

【题组一  公式直接运用】

1．已知是第二象限角,    。

【答案】

【解析】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.

2．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=    。

【答案】-

【解析】∵cosα=﹣，α是第三象限的角，所以其正弦值为负，则sinα=﹣

3．已知α是第四象限角tanα=-，则cosα=     。

【答案】

【解析】∵α是第四象限角, ， ，

4．已知为第二象限角，且,则的值为     。

【答案】

【解析】是第二象限角，，.

5．已知，且，则    。

【答案】

【解析】由，且，可得，故

6．为三角形的一个内角，,则      。

【答案】

【解析】由于三角形的内角，而，故为钝角.由解得，.

7．已知，且，那么     。

【答案】

【解析】因为，>0，故即，

又， 解得：

8．若，且，，则实数的值是__________．

【答案】.

【解析】因为，所以 即 解得： ，又 整理得：

即 解得：或（舍去） ．故答案为

【题组二  弦的齐次】

1．已知,则的值为   。

【答案】

【解析】由题意可知，.

2．已知那么的值为       。

【答案】

【解析】.

3．若,则______

【答案】

【解析】

．故答案为：．

4．已知点在终边上，则______．

【答案】

【解析】∵点P（1，2）在角α的终边上，∴，

将原式分子分母除以，则原式 故答案为5．

5．若，那么______.

【答案】-1.

【解析】 .

6．已知,则的值是_______________.

【解析】由.

因为，所以原式.

7．已知：，则_________．

【解析】

8．已知，则         ．

【解析】由得，解之得.

9．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则______，______.

【解析】由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍.

则直线的倾斜角为，则.

所以.

.故答案为：  ；   

10．已知，则________.

【解析】∵，

∴即，

即，则或，故答案为：-1或．

11．在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则_______.

【解析】角的顶点在平面直角坐标系原点，始边为轴正半轴，终边在直线上，

，故答案为．

12．若，则的值为    。

【解析】由，整理得，

所以，

又由三角函数的基本关系式，可得由

解得，所以.

【题组三  关系】

1．如果角满足，那么的值是     。

【解析】，，．

．

2．已知为锐角，若，则    。

【解析】因为，所以两边平方可得，即，所以联立可得，所以，再由，得或.

3．若，则__________.

【答案】

【解析】已知等式①，
两边平方得：，即，
∵，，即，
，即②，
联立①②，解得：，则，故答案为：.

4．已知. 

(1)求的值      

(2)求的值.

【答案】（1）   （2）

【解析】（1）∵.

∴，即，

（2）由（1）知＜0，又   

∴

∴

5．已知,且,

（1）求的值.

（2）求的值

（3）求的值

【解析】（1）已知，，求得．

（2）当时，，为钝角，由，

求得，，

（3）．

6．已知，求下列各式的值：

（1） ；

（2）；

（3）．

【解析】（1）∵，∴，∴，

又，∴，，

∴；

（2）由（1）可知，，

（3）∵，，∴，，

∴，∴．