高三数学 函数专题复习 十六 诱导公式及恒等变化 试卷

专题十六  诱导公式及恒等变化

模块一、思维导图

模块二、考法梳理

考点一：诱导公式

1．已知角的终边经过点，则的值等于         。

【解析】由三角函数的定义可得：，则.

2．若角的终边经过点，则        。

【解析】由题知．由诱导公式．

3．若则        。

【解析】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，

化简得，

又由，则，所以．

4．若,则      。

【解析】∵，∴，，

∴．

5．若，，则的值为     。

【答案】

【解析】由诱导公式得，

平方得，则，

所以，

又因为，所以，所以.

6．已知为第四象限角,化简,________.

【答案】

【解析】依题意为第四象限角，所以

.故答案为：

7．已知α为第二象限角，化简=________

【答案】-1

【解析】

故答案为：

8．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若,是非零实数，且满足，则________.

【答案】

【解析】由已知，

又，所以．故答案为：．

考点二：恒等变换

1．计算的结果为      .

【解析】

2．的值为        .

【解析】．

3．求值：           .

【答案】

【解析】

4．______.

【答案】

【解析】因为，

所以，

∴原式.故答案为

5．  .

【答案】

【解析】由题意可得：

.

6．化简   值为    .

【答案】2

【解析】

7．__________．

【答案】32.

【解析】因为

所以故答案为

考点三：角的拼凑

1．已知,则   .

【解析】,.

2．已知，则等于    .

【解析】＝-sin[]＝

3．已知，若，则的值为      .

【解析】，

，

4．若，则       .

【答案】

【解析】由题意，可得

．

5．若，则的值为        .

【答案】

【解析】依题意，,

.

6．已知，则     .

【答案】

【解析】因为，

所以，

整理得，即，

所以.

7．已知，点为角的终边上一点，且，则角    .

【答案]

【解析】∵|OP|＝7，∴sinα，cosα．

由已知，，

根据诱导公式即为sinαcosβ﹣cosαsinβ，∴，

∵∴0＜α﹣β，∴cos（α﹣β），

∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）

，

∵，所以角β

8．若都是锐角，且，，则        .

【答案】

【解析】因为都是锐角，且，所以又

，所以，所以

， .

考点15  诱导公式

【题组一  诱导公式】

1．已知，，则      。

【答案】

【解析】因为，诱导公式可得，

，又因为所以

2．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则      。

【答案】

【解析】角的终边在直线，即上，则,，故．

3．化简:__________.

【答案】

【解析】.故答案为：

4．已知角的始边与轴正半轴重合且终边过点，则的值为______.

【解析】因为角的始边与轴正半轴重合且终边过点，所以，

因此.故答案为：.

5．已知，则      ．

【解析】∵，∴，．

6．已知，则    。

【解析】由已知

则

7．已知1，则的值是       。

【解析】，

．

8．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为     。

【解析】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，所以，.因为，，则解得，，故.

【题组二  恒等变化】

1．已知，tanα=2，则=______________．

【解析】由得，又，所以，

因为，所以，

因为，所以．

2．________.

【解析】.

3．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______

【解析】tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=1

4.求值：=       

【解析】原式=

5.化简求值：=                。

【解析】=

==；

6.化简求值：+=               。

【答案】

【解析】+

=+

==（﹣）==．

7．________.

【答案】

【解析】由题意得

8．已知，则__________．

【答案】

【解析】由题可得 .

9．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.

【答案】

【解析】∵在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P（a，b），

∴由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a．

∵，可得：sinα+cosα，∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα

可得：1+2sinαcosα，解得：2sinαcosα，

∴sin2α＝﹣2sinαcosα．故答案为．

10．设a，b是非零实数，且满足，则＝_______．

【答案】

【解析】因为，（tanθ）∴

∴．tanθ＝tan（kπ）．∴故答案为．

11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为． 若，则__________．

【解析】由得，代入所求表达式，可得.

12．     。

【解析】

【题组三  角的拼凑】

1．已知，则cos(55º-α)的值为       。

【解析】．

2．已知，则          。

【解析】由题意，可知，由三角函数的诱导公式，因为，

则.

3．已知，则的值等于     。

【解析】因为.

4．已知sin（）=，则（）的值等于     。

【解析】因为sin（）=，则（）= sin（）=。

5．已知，则      。

【解析】由题意可得：

6．若，则等于          。

【解析】若，则 ,

7．若，则       。

【解析】令，则由，可得

8．已知锐角满足，则的值为     。

【答案】

【解析】由，得，即，

由为锐角，且，所以因为锐角，所以.

.

9．已知，则         。

【答案】

【解析】   

10．已知，则=      。

【答案】

【解析】由题意，所以，

所以

．

11．已知、为锐角，，，则      。

【解析】∵∵α为锐角∴∴

∴.

12．已知均为锐角,,则=         。

【解析】因为,所以,又,所以,则;因为且,所以,又,所以;则====;

13.已知，且，则   。

【解析】因为，所以，

因为，所以.

因为，，所以，

所以 ，

14．若，，，，则等于    。

【答案】

【解析】，，则，

，则，所以，，

因此，

。

15．已知，那么         。

【答案】

【解析】由题意，可得

．