高三数学 函数专题复习 十四 三角函数定义

专题十四  三角函数定义

模块一、思维导图

(一)角的概念的推广

1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；

②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；

③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：

①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为。集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算

(1)角度制：把圆周等分，其中份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：，；； 。

3、特殊角的三角函数值

4、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：，；

5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：，

扇形面积公式：，是圆心角且为弧度制，是扇形半径。

(二)任意角的三角函数

1、任意角的三角函数：设是一个任意角，它的终边上一点(除了原点)的坐标为，它与原点的距离为，那么：

(1)半径等于单位长圆叫做单位圆。设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与轴交点为，，而与轴交点分别为，。由三角函数的定义可知，点的坐标为，即。其中，。即角余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点横坐标和纵坐标。过点作单位圆切线，它与角终边或其反向延长线交与点(或)，则(或)。

(2)正弦；余弦；

正切；余切；

正割；余割。

(3)有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。具有方向的线段叫做有向线段。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

(4)三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点。我们就分别称有向线段，，为正弦线、余弦线、正切线。

(5)各象限的符号：                                      

一全正

二正弦

三正切

四余弦

2、几个重要结论

(1)                                   (2)

(3)若，则。

证明：在单位圆中，，，

当时，，

则，则，则。

模块二、考法梳理

考点一：终边相同的角

1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为        。

【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：，，

角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：，．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：，．

2．下列各组角中，终边相同的角是   。

A．与 B．与

C．与  D．与

【解析】对于A选项，表示的整数倍，表示的奇数倍，与的终边不一定相同；

对于B选项，，表示除余数为的整数，表示除余数为的整数，而表示的整数倍，

所以，，则与的终边不一定相同；

对于C选项，对于，取得，对于，取得，，

均为的整数倍，

则与 的终边相同；

对于D选项，显然，

则与的终边不一定相同.故选：C.

3．已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是       。

A． B．

C． D．

【解析】令，则，故B选项符合.故选：B

4．集合M={Z}，N={Z}，则       。

A．MN B．NM C．MN= D．MN=R

【解析】∵k∈Z；∴k＝2n或2n+1，n∈Z；

∴；又；

∴M⊆N．故选A．

考点二：三角函数定义

1．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为           。

【解析】由角的终边经过点(2,-1),可得,,

所以.

2．已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于          。

【解析】，解得.

3．若点是角终边上异于原点的任意一点，则的值是            。

【解析】由三角函数的定义可得.

4．在平面直角坐标系中,点是角终边上的一点,点是角终边上的一点,则的值是      。

【解析】因为，所以，同理可得，

，所以．

5．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点和第二象限内的点都在单位圆上，，.若，则的值为   。

【解析】由三角函数的定义有，，

因为点在第二象限内，所以，

所以

6．设点是角终边上一点，当最小时，的值是    。

【解析】，

当且仅当时取等号，∵，因为最小值为，

所以此时，点，．

7．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝     。

【解析】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），

则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，

考点三：三角函数值的正负（或象限）判断

1．若，则所在的象限是(    )

A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三

【解析】，或.

若且，则角为第一象限角；若且，则角为第四象限角.

综上所述，角为第一或第四象限角.故选：C.

2．若是第二象限角，则点在    （　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D

3．若且，则终边在(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限

【解析】．，，

即，

．，，

即的解集为，

则

可得终边在第一或第三象限．故选：．

4．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )

A．0 B．2 C．－2 D．2或－2

【解析】∵α是第三象限角，∴是第二或第四象限角．当为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0.

5．如果sinα＜0，tanα＞0，那么角的终边在（　　）

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限

【答案】B

【解析】由sinα＜0，则角的终边在第三、四象限或轴的非正半轴上，

由tanα＞0，则角的终边在第一、三象限，所以角的终边在第三象限,

 即,所以

当为偶数时，的终边落在第二象限，当为奇数时，的终边落在第四象限，

所以的终边落在第二或第四象限.故选：B

6．如果是第二象限角,且,那么所在象限为第几象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【解析】，

因为是第二象限角，故，则，，

在一、三象限，又因为，所以在第三象限，故选C．

考点四：三角函数线

1．若和分别是角的正弦线和余弦线，则（    ）

A． B． C． D．

【解析】在单位圆中画出角的正弦线和余弦线，如图所示，则.故选：C.

2．在内,使成立的x的取值范围为(    )

A．       B．      C．      D．

【解析】在内，画出与对应的三角函数线是MT，OM，如图：

满足在内，使的即，所以所求的范围是：，故选：B.

3．若点在第一象限， 则在内的取值范围是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】点在第一象限，，如下图所示：

在内的取值范围是，本题选A.

4．比较大小，正确的是（　　）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以．

而，，

由，所以，．

综上，，故选B．

5．函数的定义域为____________.

【解析】要使，则有且

由得

由得

因为

所以原函数的定义域为

故答案为：

三角函数定义

【题组一  终边相同的角】

1．终边在直线上的角的取值集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当的终边在直线（）时， ，，

当的终边在直线（）时，，，所以角的取值集合是

=，故选：D.

2．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ）

A．B．

C．D．

【解析】在间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为，.

所以阴影部分的区域在间的范围是.

所以终边在阴影部分区域的角的集合为：.故选：C.

3．下列选项中叙述正确的是（    ）

A．钝角一定是第二象限的角 B．第一象限的角一定是锐角

C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．终边相同的角一定相等

【解析】对于选项A：钝角的范围是，是第二象限的角，所以正确；

对于选项B：第一象限的角含有负角，所以不正确；

对于选项C：三角形的内角为直角时，既不是第一象限角也不是第二象限角，所以不正确；

对于选项D：与终边相同，但是两者不相等，所以不正确.故选A.

4．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　)

A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅

【解析】由题意可

即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，故选C．

5．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么______.（用弧度制描述）

【解析】角的终边在图中阴影所表示的范围为：，

即.

6．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；

④若，则与的终边相同；

⑤若，则是第二或第三象限的角．

其中正确的命题是______．（填序号）

【答案】③

【解析】①，则为第二象限角；，则为第一象限角，此时，可知①错误；

②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误；

③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确；

④若，，此时，但终边不同，可知④错误；

⑤当时，，此时不属于象限角，可知⑤错误．

本题正确结果：③

【题组二  三角函数的定义】

1．已知角的终边过点，且，则的值为      。

【答案】

【解析】因为角的终边过点，所以，解得.

2．已知，若角的终边经过点，则的值为      。

【答案】

【解析】因为角的终边经过点所以

所以所以

3．角终边上有一点,则下列各点中在角的终边上的点是       。

【答案】

【解析】角终边上有一点，则，故

，排除 同理计算：，排除

4．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，，点是终边上一点，则的值是________.

【解析】因为，即点在第一象限，所以，

又，∴．故答案为：．

5．已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______.

【答案】       

【解析】由于是角的终边上一点，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为.故答案为：（1）；（2）

6．在平面直角坐标系中，角的终边过点，则___；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则___.

【答案】    ；   

【解析】∵角的终边过点，则，

将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，

则，故答案为，.

【题组三  三角函数值的正负】

1．设角α是第二象限角,且=-cos,则角是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【解析】由于是第二象限角，故，所以，即是第一或第三象限角.又因为，所以是第三象限角.故选C.

2．若 且，则的终边在(                      )

A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第三象限或第四象限

【解析】由 且，知为二象限角，即.

则，当为偶数时，的终边在第一象限；

当为奇数时，的终边在第三象限.故选C.

3．若,且,则角的终边所在象限是(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】,,.

,,.,.

综上可得,.

当,且时,角的终边所在象限是第二象限.故选:B

4．若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

【解析】由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角，由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角.

所以本题答案为C.

5．已知，且，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【解析】由，可知，结合，得，

所以角是第四象限角，故选:D

6．（多选）已知，则函数的值可能为（    ）

A．3 B．-3 C．1 D．-1

【答案】BC

【解析】，

当在第一象限时：；

当在第二象限时：

当在第三象限时：

当在第四象限时：故选：

【题组四  三角函数线的运用】

1．使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是      。

【答案】

【解析】2sinx≥0解得：sinx进一步利用单位圆解得：（k∈Z）

2．的解集为             。

【答案】

【解析】原不等式等价于，即正弦线长度大于或等于余弦线长度．

3．使成立的的一个变化区间是     。

A．   B．  C．  D．

【答案】A

【解析】如图所示

当和时，，

故使成立的的一个变化区间是.故选A

4．设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是     。

【答案】b<a<c

【解析】由于，结合三角函数线的定义有：，

结合几何关系可得：，即.

5．若，以下不等式成立的是    。

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】当时，，，，所以.故选A.

6． 则的的大小关系是     。

【答案】

【解析】设,则,

作出角的三角函数线,如下图,

则,,,

又在中,,则,

故,即.

7．设，，，则   。

【答案】

【解析】 ,因为 ,所以 ,选C.

8．在内，使成立的的取值范围是    。

【答案】

【解析】根据三角函数线得在内成立的的取值范围是，

在内成立的的取值范围是

9．已知则的大小关系是__________．

【答案】

【解析】令，则 当0<x<1时，x<tanx,所以 所以f(x)在（0，1）上单调递减，所以，即<b；又由三角函数线可知，所以<,即.

故答案为.

10．设，，，，则按从大到小的顺序是_____________.（用“>”号连接）

【答案】

【解析】∵，∴；

∵为锐角，故，又．∴．

答案：