高三数学 函数专题复习 十八 正余弦定理

专题十八 正余弦定理
模块一、思维导图

模块二、考法梳理
考法一：正余弦定理选择
1．中，角所对的边分别为．若，则边 。
【解析】，即，解得或（舍去）．

2．在中，，，，则的外接圆面积为 。
【解析】因为在中，，，所以，
又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为.

3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于 。
【解析】由正弦定理，==
∴a=sinA，b=sinB，c=sinC
则==

4.在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝ 。
【解析】因为cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋25－2×1×5×＝32，∴c＝AB＝4。

5.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　 )
【解析】△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.

考法二：边角互换
1．在△ABC中，若a＝2bsinA，则角B等于 。
【解析】由正弦定理有,因为.因为,故.即,又,故B等于30°或150°.

2．已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为 。
【解析】由正弦定理得，化简得，故.

3．在中,,则角的大小为 。
【解析】根据正弦定理得到：，根据余弦定理得到.
故.

4．在中，内角的对边长分别为，已知，且，则_________．
【解析】∵
∴根据正弦定理与余弦定理可得：，即
∵∴∵∴
5．在中，分别是角的对边,若,且，则的值为 。
【答案】2
【解析】在中，因为,且，
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即，解得，
由余弦定理得，
即，解得．

6．已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为 ．
【答案】
【解析】由正弦定理得，化简得，故.

考法三：三角形面积
1．在中，内角对应的边分别为，已知，，且，则的面积为 。
【答案】
【解析】因为，，所以由正弦定理得
即，得因为，所以所以
所以面积
2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为______.
【答案】2
【解析】由余弦定理得，即，解得，
∴，∴，
故.故答案为：2

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝，＝2，且S△ABC＝， 则b的值为 。
【答案】3
【解析】根据正弦定理可得,.
在中,,.
,,.
,.

4．在△中，，，，且△的面积为，则=_______
【答案】
【解析】，，∵，∴，∴．

考点四：三角形形状判断
1．在中，已知，则该的形状为 。
【解析】化为，
，，
至少有一个是锐角，，
或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.

2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足且三边a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是 。
【解析】三边a，b，c成等比数列，即，根据余弦定理，即，.故为等边三角形.

3．已知三内角、、的对边分别是、、，若，且，则的形状为 。
【【解析】由正弦定理得，即，
所以，.又，由余弦定理得,所以,所以，所以为等腰直角三角形.

4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 。
【解析】不妨设为直角三角形，，则，设三边增加的长度为，则新三角形的三边长度分别为，则，而，所以，因此新三角形为锐角三角形.
5．对于，有如下命题：
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为钝角三角形．
若，则一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上
【解析】或，为等腰或直角三角形正确；
由可得由正弦定理可得
再由余弦定理可得，为钝角，命题正确

全为锐角，命题正确
故其中正确命题的序号是，，

考点五：三角形个数
1．已知中，，，若仅有一解，则 。
【答案】
【解析】由题中已知中，，，则角所对的高线长可表示为，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则 或， 所以 或

2．在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
A．,, B．,,
C．,, D．,,
【解析】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B已知两边及夹角用余弦定理，只有一解，C中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，D中，，有两解．故选：D.

3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足，，的三角形解的个数是______.
【解析】根据正弦定理得到：，故，.
故满足条件的三角形共有个.故答案为：.

4．若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是 。
【解析】根据正弦定理可知 ，代入可求得 因为，所以
若满足有两个三角形ABC则 所以

考点六：取值范围
1．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

2．中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．
【解析】由及正弦定理得，
，即，
又，于是可得，即，.
在中，由余弦定理得，即，
又因为，，
由此可得，当且仅当时等号成立，
面积，故面积最大值为.故答案为

3．在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】得，又，所以.
在锐角中，，由正弦定理得：

所以，
所以.
因为，所以，所以.
4．设，，分别为内角，，的对边.已知，则的取值范围为______.
【解析】因为，所以，
所以，
即，又，所以，
则，因为，所以，
而，故.故答案为：．

5．在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．
【解析】由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，
所以，，化简，得：，解得：x＝3y

，，，
＝＝
＝＝，当且仅当时取得最小值.
考法七：解析几何中运用
1．如图,在,已知点在边上,,,,,则的长为 。

【解析】由题意，
∴，．

2．的两边长分别为1，，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为 。
【解析】，设，
在中，，即，①
在中，同理可得，②

①+②得，为等边三角形，
，的外接圆直径为 .

3．在中，，则 。
【解析】设所以，
所以，
所以，
得，所以

4.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长为 。

【解析】利用余弦定理求解．因为sin∠ABC＝sin＝cos∠DBC＝，
在△DBC中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝25＋27－2×5×3×＝16，
所以CD＝4。

5.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.

【解析】在ΔABD中，＝，而AB＝4，∠ADB＝，AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，∴BD＝.cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝
考点八：综合运用
1．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为，,,,则的值为 。
【解析】因为，所以
.

2．在中，，向量 在上的投影的数量为，则 。
【解析】∵向量 在上的投影的数量为，∴．①
∵，∴，∴．②
由①②得，∵为的内角，∴，∴．
在中，由余弦定理得
，∴．

3．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于 。
【解析】∵，，
∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.

4．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是 。
【解析】由题题意，设 则
在 中， ∴根据余弦定理，得 即：
整理得 解之得 或 （舍）即所求电视塔的高度为40米．

5．设，分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在一点，使得，且，则该双曲线的离心率是 。
【解析】,分别是双曲线的左、右焦点,且双曲线上的点满足 所以,解得
因为,所以在三角形中由余弦定理可得
,代入可得
化简可得,即 所以

模块三、巩固提升
【考法一 正余弦定理选择 】
1．在中，，，，则为 。
【解析】由正弦定理可得：
，或
2．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB= 。
【答案】59
【解析】由正弦定理得313=5sinB∴sinB=59，故选B．

3．已知分别为三个内角的对边且，则=____
【答案】 （或）
【解析】因为，所以，所以2bccosA=,所以,.故答案为.

4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；
再由正弦定理可得：，解得，
由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：.

5．在中，角A、B、C所对的边分别为、、．若，则＝__________.
【答案】1
【解析】因为b=1,c=,C=,那么根据正弦定理可知,可知sinB=,因为b
6．中，角成等差数列，则 。
【答案】1
【解析】由题意，，．

【考法二 边角互换】
1．在△ABC中，如果，那么cosC等于 。
【答案】
【解析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=。

2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 。
【解析】在中，，由余弦定理可得，
，，又，．

3．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c＝acosB+acosC，则A＝ 。
【解析】由b+c＝acosB+acosC，根据余弦定理可得，
，

，进一步化简可得
∴△ABC为直角三角形，.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角的大小为 .
【答案】.
【解析】由已知，根据正弦定理得：，则,即,所以.故答案为.

5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-bc-a=sinAsinC+sinB，则B= 。
【答案】π3
【解析】根据正弦定理asinA=bsinB=csinC可得sinAsinC+sinB=ac+b,由已知可得c-bc-a=ac+b,整理可得a2+c2-b2=ac,
∴cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,∴在ΔABC中B=π3.

6．在中，角所对的边分别是，已知，，
则角__________．
【答案】
【解析】∵1+=，即===，
∴cosA=，即A为锐角，∴sinA==，
∵a=2，c=2，∴由正弦定理=得：sinC==，
∵a＞c，∴A＞C，∴C=．故答案为：．

7．在中，角，，的对边分别为，，，若，则________.
【答案】
【解析】根据①余弦定理②
由①②可得：化简：
，，，，,，
此时，故得，即，．故答案为：．

【考法三 三角形面积】
1．锐角中角的对边分别是，若，且的面积为，则________．
【答案】
【解析】由题意得，又锐角，所以，由余弦定理得

2．中，，，，的面积为，则__________．
【答案】.
【解析】由题意，在中，，
所以的面积为，解得，
由余弦定理得，又由，所以.
3．中，、、成等差数列，∠B=30°， ，那么b =____________.
【解析】∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①
∵ ，∴ac=6②
∵③由①②③得.

4．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为，且，那么 ．
【解析】
即=
为三角形内角， 故答案为

5．设分别是的内角的对边,其面积为,则 。
【解析】,.

6．在中，、、分别是角、、的对边，若，，，则的面积为 。
【解析】由余弦定理可得，
即，解得，则，
因此，的面积为.

7．在中，已知，且满足，则的面积为 。
【解析】在中，已知，∴由正弦定理得，
即，∴＝＝，即＝.
∵ ，∴的面积．

8．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为那么 。
【解析】由余弦定理得，又面积
，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得．

9．在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长，，则=_______．
【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性．
当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，
，，= 4．
（方法二），
．
由正弦定理得：上式．故答案为：4

【考法四 三角形形状判断】
1．在中，设内角的对边分别为，若，则的形状是 三角形
【解析】根据题意，结合正弦定理可得，
即，所以，结合三角形内角的取值范围，可得，
所以是等腰三角形.

2．在中,已知,且,则的形状是 三角形
【答案】等边三角形
【解析】∵，∴由正弦定理得，，∴，
若为钝角，则，由得，也为钝角，不合题意．
故为锐角，，又由得，∴，∴，从而，为等边三角形．

3．在中，已知，那么一定是 三角形
【答案】等腰
【解析】，由正弦定理可得,
由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，

4．在中，角，，所对的边的长分别为，，，若，则的形状是 三角形
【答案】钝角
【解析】由正弦定理得：由余弦定理得：
为钝角，则为钝角三角形
5．设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则 三角形
【解析】因为，所以，
即，即，所以，因此角为直角；
又，所以，所以；因此，是等腰直角三角形.

6．若，且，那么是 三角形
【解析】由题设可得
由题设可得，即该三角形是等边三角形．

7．在中，若，则的形状是 三角形
【解析】因为在中，满足，
由正弦定理知，代入上式得，
又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以，
所以为钝角三角形.

【考法五 三角形个数】
1．已知分别为的三个内角的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是 。
【解析】在中，由，，，则，
要使得三角形有两个，则满足，即， 解得，实数范围是
2．在中，角，，所对边分别是，，，若，，且，满足题意的有 。
【答案】一个
【解析】，，,为锐角，且， ，满足题意的有一个.

3．在中，角所对的边长分别为，若，，，则这样的三角形解的个数为 。
【答案】0
【解析】因为，，所以由正弦定理得：即解得，故无解

4．△ABC中，已知下列条件：①b＝3，c＝4，B＝30°；②a＝5，b＝8，A＝30°；③c＝6，b＝3，B＝60°；④c＝9，b＝12，C＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是 。
【答案】①②
【解析】中，，，，可得，
故满足条件的角有个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确
，，，可得，
故满足条件的角有个，一个为锐角，一个为钝角，三角形有两个解，故正确
，，，可得，，则，三角形有唯一的解故错误
，，，可得，，则不存在，三角形无解故错误
5．的内角，的对边分别为，，若，，且满足条件的三角形有两个，则的取值范围为 。
【解析】由正弦定理得：即所以
由题意得，当时，满足条件的三角形有两个所以，解得

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的的个数为 。
【解析】由正弦定理得,所以C只有一解，所以三角形只有一解.

7．已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是 。
【答案】
【解析】做出示意图如下图所示：做于，则，
要使△ABC有两解,则需，因为b=B=60°,所以解得，


【考法六 取值范围】
1．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2ab+b2＝1，c＝1，则a﹣b的取值范围为_____．
【解析】因为，，所以..
因为，所以.又因为，
所以，，.
.
因为，所以.，所以

2．在锐角三角形中，A、B、C成等差数列，，则的取值范围 。
【解析】A、B、C成等差数列所以，又所以
由正弦定理得，
是锐角三角形，所以且，
所以，所以
即
3．中角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值为______.
【答案】
【解析】由正弦定理可知，，且
变形为，即
又为内角，，



当即时故答案为：

4．已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】由， ， 成等比数列，得，由正弦定理可得.
由余弦定理可得.
所以.
令.,.所以.
.
5．已知四点共面，，，，则的最大值为______．
【解析】设 ，由题意可得： ，
则： ，ABC构成三角形，则：，解得：，
由余弦定理：，
当时，取得最大值为10.

6．在中，，，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，∴，∴，因，必为锐角，故

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=3B，则ab的取值范围是 。
【解析】A=3B⇒sinAsinB=sin3BsinB=sin2B+BsinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB=2sinBcos2B+cos2BsinBsinB=2cos2B+cos2B=2cos2B+1即ab=sinAsinB=2cos2B+1又A+B∈0,π，即4B∈0,π ⇒2B∈0,π2 ⇒cos2B∈0,1∴ab∈1,3
8．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是 。
【解析】
，
因为为锐角三角形，所以，
，
，故.
【考法七 解析几何中运用】
1．如图所示，四边形ABCD中，，，，则的面积为________，________.

【解析】在中, ,,
由正弦定理,代入得
解得,而
由余弦定理可得，代入可得
解方程可求得 则
因为,，且

所以
则
由余弦定理可知
代入可得所以故答案为: ;
2．如图，，，，为平面四边形的四个内角，若，，，，，则四边形面积是______．

【解析】连接BD，在中，，
在中，，所以=，
因为，所以，所以，则，
所以四边形面积
，故答案为.

3．如图，三角形中，D为边上一点， 且，，则为______.

【解析】如图,延长AD,过点C作,垂足为E,

,,设,则,
, ,,则,
,,,,.
4．如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.

【解析】设山的高度（米），,,（米）,
在中，可得：，利用正弦定理可得：
，解得：（米）, （米）
在中，由可得：（米）
在中，可得：

5．四边形中，，，，，，则的长为______

【解析】连接AC,设,则，故在中， ，
，
又在中由余弦定理有,解得,即，故答案为.
6．如图所示，在平面四边形中，，，，，则四边形的面积的最大值为___．

【解析】连接，在三角形中，∵，，
∴为等边三角形，在中，，，
由余弦定理可得 ，
则四边形的面积为 ，
当，即时，取得最大值1，
四边形的面积取得最大值为．


7．在中，已知，是边上一点，如图，，则__________．

【解析】 ，根据余弦定理，，，，根据正弦定理，则.
8．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．

【解析】sin∠BAC＝sin(＋∠BAD)＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝.
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×，即BD2＝3，BD＝.

【考法八 综合运用】
1．已知，若的内角，，的对边分别为，，.
（1）若，，且的面积为，求，的值.
（2）若，试判断的形状.
【解析】（1）由正弦的二倍角及余弦的降幂公式,结合辅助角公式化简可得
,
又,则,又,故,
,所以
在中由余弦定理可知,化简可得,则可解得.
（2）由条件,可知,
化简可得,则或,即或,
所以为直角三角形或等腰三角形.

2．在中，内角的对边分别为．若，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【解析】（1）由，可得，所以，
又，所以．因为且，所以．
所以．
（2）由正弦定理可得，所以．
所以的面积．

3．的内角所对的边分别为,且满足.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若外接圆半径为,求的面积.
【解析】（Ⅰ）由及正弦定理得
从而 即又中, ∴.
（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得
再由余弦定理,及
得∴的面积.
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）证明：；
（2）若B为钝角，的面积为，求.
【解析】（1）在中, ,所以
又，所以
所以
所以，即，
所以.
（2）由，所以
则，由（1）可知，所以
又B为钝角，所以，
又
则，所以或（舍）
所以.

5．在中，，，分别是角，，的对边，已知向量，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
【解析】（1）由得，
由正弦定理，
得，
即，
因为在三角形中，
则，
又，
故；
（2）在中，因，，
由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
解得，
又由三角形性质得，
故，
则，
即的周长的取值范围为.

6．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围和面积的最大值.
【解析】（1）因为
所以
所以
因为，所以
因为，所以
（2）因为
由余弦定理得
即
所以

因为
所以
所以，当且仅当时等号成立
又因为，所以
即周长的范围是

7．在中，，，分别为角，，所对边，若.
（1）求角的大小.
（2）若，求周长的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理知：，即
由余弦定理知：，因此
（2）由正弦定理知：，则，



故，则，故
因此

8．已知在四边形中，，，.

（1）求的值；
（2）若，，求的长.
【解析】（1）在中，由正弦定理可得，，
可得，为锐角，，
因此；
（2），，.
设，在中，由余弦定理得，
即，整理得，，解得.
因此，.

9．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.
【解析】（1）因为，且，
所以
在中，
所以
所以
所以
因为在中，，所以
因为是的内角
所以.
（2）在中，
因为是等腰直角三角形，
所以，
所以平面四边形的面积
因为，所以 ，所以当时，，
此时平面四边形的面积有最大值
10．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．
【解析】(1)证明：由，即，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，B，，．
(2)解：，，
．
且，，
，
为锐角三角形，，
，，
为增函数，．