湖北省黄冈市部分普通高中2021届高三上学期12月联考 数学 (含答案) 试卷

2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考

高三数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1.已知集合，，则=（    ）

A. B. C. D.

2.复数z在复平面内对应点的点是，则复数（i是虚数单位）的虚部为（    ）

A. B. C. D.

3.中，“”是“”的（    ） 

A.必要不充分条件  B.充分不必要条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

5.公差不为0的等差数列中，它的前31项的平均值是12，现从中抽走1项，余下的30项的平均值仍然是12，则抽走的项是（    ）

A. B. C. D.

6.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（    ）

A.98颗 B.106颗 C.120颗 D.126颗

7.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，其中正确的结论为（    ）

A.直线与是相交直线

B.直线与是平行直线

C.直线与是异面直线

D.直线与所成的角为60°

10.已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.数列是等比数列

C.  D.数列是公差为2的等差数列

11.已知函数，，则（    ）

A.在上单调递减 B.是周期为的函数

C.有对称轴  D.函数在上有3个零点

12.已知函数，其中正确结论的是（    ）

A.当时，有最大值

B.对于任意的，函数是上的增函数

C.对于任意的，函数一定存在最小值

D.对于任意的，都有.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量，的夹角为60°，，，则______.

14.已知直线与圆相交于A、B两点，O为坐标原点，且的面积为，则实数m=______.

15.综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C在同一水平面的A、B两点（B在A的正西方向），在A点测得樟树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______米.

16.四棱锥各顶点都在球心为O的球面上，且平面，底面为矩形，，，则球O的体积是______；设E、F分别是、中点，则平面被球O所截得的截面面积为______.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知，，函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数的图象上的各点______得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围.

在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.

①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；

②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位.

18.已知等差数列的前n项和为，p，，，且.数列满足.

（1）求p、q的值；

（2）设数列的前2n项和为，证明：.

19.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，

（1）求角A的大小；

（2）若，，的平分线交边于点T，求的长.

20.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，平面平面，且E，F分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21.如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为上异于B，C的一点，与平行，设.

（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；

（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低?请说明理由.

22.已知曲线（其中e为自然对数的底数）在处的切线方程为.

（1）求a，b值；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

参考答案：

2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考

高三数学试卷参考答案

1.D   ，，

2.B   ，，∴虚部为

3.B   中，或，∴“”是“”的充分不必要条件.

4.D   ，，.

5.C   ，，∵从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是12，则抽走的项.

6.D   作出在轴截面图如图，由题意，

，，，设，则，即.

则最大放入珍珠的体积

一颗珍珠的体积是.由.∴最多可以放入珍珠126颗.

7.A   设，图象如图，

已知问题可以转化为图象与函数图象没有交点，

数形结合可得或

8.C   连接A，B与左右焦点F，的连线，由，

由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，

在三角形中，，

所以，即

即，可得，所以椭圆的离心率

9.CD   在A中，直线与是异面直线，故A错误；在B中，直线与是异面直线，故B错误；在C中，直线与是异面直线，故C正确；，是等边三角形，∴直线与所成的角为60°，D正确

10.ABC   公比q为正数，，又，解得，.，.，∴数列是公比为2的等比数列..，数列是公差为的等差数列.

11.BD作出函数的图象，

由图，函数在上单调递增，故A错误；，所以函数的周期为，故B正确；无对称轴，C错误，在上有3个零点，D正确

12.BC   当时，，易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误，

对于任意的，函数是上的增函数，当时，，，故，故B正确，D错误，对于任意的，，易知在单调递增，

当时，，当时，，∴存在，

当时，，函数单调递减，，，函数单调递增，

，故C正确

13.2   ，.

14.   ，，，，

∴圆心O到直线的距离，即，

15.   根据图形知，中，，，，

由正弦定理得，，解得，

在中，，所以.

16.n（第一空2分），（第二空3分）

由题设知球心O为中点，故球O的直径，故，设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，由题设球心O到平面的距离等于点B到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法得，，故截面面积为

17.解：（1）

故函数的最小正周期为.

（2）将的图象按照变换①：向左平移个单位，

再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，

可得的图象，

当时，，，

，

若方程有解，则.

将的图象按照变换②：纵坐标保持不变，

横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位，

可得的图象，

当时，，，

，

若方程有解，则.

18.解：（1），，

，，解得.

由得，解得.

，.

（2）等差数列的公差，.

，，解得.

.

∴数列的前项和

关于n递增，.

19.解：（1），即为，

可得，解得或（舍去） ，

由，可得；

（2），即为，可得，

由，

可得，

由得，

（1）证明：取中点G，因为F是中点，，且

∵E是的中点，则，且.，且.

∴四边形是平行四边形，

又平面，平面PEB，平面.

（2）解：是正三角形边为的中点，.

∵平面平面，平面平面，平面，

平面，∵四边形为菱形，，

∴正三角形中，，

以E为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

不妨设菱形的边长为2，则，，

，，

则点，，，

，，

，，

设平面的法向量为，

则，即，解得，

不妨令，得；

又，设与平面所成角为，

与平面所成角的正弦值为.

21.（1）证明：由题意，，所以,

又，

∴观光专线的总长度

，，

∵当时，，在上单调递减，

即观光专线的总长度随的增大而减小.

（2）解：设翻新道路的单位成本为，则总成本

，，..g'（0） =a（

，

令，得，因为，所以，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，取得最小值，

故当时，观光专线的修建总成本最低.

22.解：（1），

故，解得：，

故，，

故切线方程是：，故；

（2）证明：，，

令，显然在递增，

而，，故，使得，

即，则，

故时，，递增，时，，递减，

时，，递增，故是唯一的极大值点，

且

令，，则，

在递增，故，

综上，存在唯一的极大值点，且.