湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考 数学试卷（含答案解析）

湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集，，，则图中阴影部分表示的集合是(    )

A．   B．

C．D．

2. 从年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（    ）

A．55 B．80 C．90 D．110

3．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4  B．a≤4  C．a≥5  D．a≤5

4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（    ）

A．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

B．此人第六天只走了5里路

C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

5. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则（    ）

A． B． C． D．

6. 函数的图象与轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（    ）

A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位

7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为×10000＋×10000×2＝×10000，2小时后，细胞总数约为××10000＋××10000×2＝×10000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为(　　)    (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)

A．38小时　　　　B．39小时        C．40小时      D．41小时

8. 若，设函数 的零点为的零点为，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. 如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：

A．三棱锥的体积不变

B．与平面所成的角大小不变

C.

D．

其中正确的结论有　　

10.已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（    ）

A．                     B．直线的斜率之积等于定值

C．使为等腰三角形的点有且仅有4个    D．焦点到渐近线的距离等于b

11.在中，角所对的边分别为，已知，，下列判断：

A．若，则角有两解；      B．若，则角有两解；

C．为等边三角形时周长最大.  D．为等边三角形时面积最小

其中判断正确的是（     ）

12. 已知函数，，

若函数有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______

A．

B．曲线在点处的切线与直线平行

C．函数在上的最大值为

D．函数在 上单调递增。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 的展开式中的系数为______________

14.函数为奇函数，则实数

15.中，角所对的边分别为，若函数有极值点，则角的范围是____________________

16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：

，若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.  已知函数（k为常数，且）．

（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；

① 数列是首项为2，公比为2的等比数列；

② 数列是首项为4，公差为2的等差数列；

③ 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.

18. 已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.

（1）求函数的解析式.

（2）若在区间上的取值范围是，求m的取值范围.

19. 如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点. 

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点K(2,0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列（只需列式无需计算）及期望．

22.  已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在点的切线方程；

（2）求证：若有极值，则极大值必大于0.

答案

选择题：

填空题：

13. 14           14.           15.       16.

解答题

17.  （10分）

【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：

由题意，                                  ………1分

即，得，且，.   ………3分

常数且，为非零常数，

数列是以为首项，为公比的等比数列．                        ………4分

（2）由（1）知，所以当时，.            ………5分

因为，

所以，所以，         ………7分

. ………10分

18. （12分）

【解析】（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，             ………2分

因为最小正周期为，所以=3.                         ………4分 

可得，

又因为函数的图象过点（0，），所以，而，所以，

故.                                   ………6分

（2）由，可知，

因为，且cos=－1，，

由余弦曲线的性质的，，得，

即.                                            ………12分

19. （12分）

【解析】

（Ⅰ）在等腰直角三角形中，，所以.               ………2分

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.                                                    ………4分

又因为平面，所以；                                  ………5分

（Ⅱ）在平面内过点作垂直于，

由（Ⅱ）知，平面，

因为平面，所以.             ………6分

如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，.   ………7分   

设平面的法向量为，

则，即.

令则，，所以.               ………10分

直线与平面所成角大小为，.

所以直线与平面所成角的正弦值为.            ………12分 

20. （12分）

【解析】　(1)由题意得⇒       

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.                                  ………4分

(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，                    

AB1与A1B的交点是.                                         ………5分

②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB为y＝k(x－2)，

由⇒(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，                              ………6分

A1，B1，

所以lAB1：y＝＋y2， lA1B：y＝＋y1，      ………7分

联立解得x＝＝＝＝，         ………9分    

代入上式可得

y＝＋y2＝

＝＝0.                ………11分

综上，直线AB1与A1B过定点.                                  ………12分

21. （12分）

【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,则“甲能修得该课程学分”的概率为,事件相互独立，    ………2分 

. ……5分

(2)，   ，

, 

因此，的分布列如下：

………9分

因为～                                              ………10分

所以                                              ………12分

22.  （12分）

【解析】（1），          ………2分

当时，，，                                  ………3分

则在的切线方程为；                            ………4分

（2）证明：令，解得或，                       ………5分

①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，

∴函数无极值；                                              ………6分

②当时，令，解得，令，解得或，

∴函数在上单调递增，在，上单调递减，

∴；                                 ………9分

③当时，令，解得，令，解得或，

∴函数在上单调递增，在，上单调递减，

∴，                                

综上，函数的极大值恒大于0.                                ………12分