2021届湖北省黄冈市高三上学期9月调研考试数学试题（解析版）

2021届湖北省黄冈市高三上学期9月调研考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】分别求出集合，然后取交集即可.

【详解】

由题意，，

，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

2．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】此题可转化为与的交点的横坐标为，利用二次函数的图像即可得到.

【详解】

若的零点为，则与的交点的横坐标为，

令，则与轴的交点的横坐标为，

如图所示，

其中，

故选：B.

【点睛】

此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.

3．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.

【详解】

，，，又，即.

因此，.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.

4．若实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用基本不等式的性质即可得出结果.

【详解】

解：实数，满足，则，

所以.可得.

当且仅当时，等号成立，

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.

【详解】

因为，

所以在区间上是偶函数，故排除B，D，

又，

故选：A

【点睛】

本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.

6．已知向量，，，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知求得，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项.

【详解】

由已知得，又，所以，解得，

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.

7．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】设点，利用求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得.

【详解】

抛物线的焦点为，准线的方程为.

设点、，则，，

，可得，解得，

由抛物线的定义可得.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列中的可由首项和末项表示.

【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，

四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，

所以正项等比数列中的可由首项和末项表示，

因为，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.

二、多选题

9．下列有关命题的说法正确的是（    ）

A．，使得成立

B．命题，都有，则，使得

C．函数与函数是同一个函数

D．若、、均为正实数，且，，则

【答案】BD

【解析】由正弦函数的性质可得，令，再由对勾函数的单调性可判断A；由全称命题的否定为特称命题，可判断B；由两函数的定义域是否相同，对应关系是否相同进行判断C；令，则，则，然后利用对数的性质可求出其范围，进而可判断D

【详解】

解：对于A，由，可得，令，，

在上递减，可得的最小值为，所以A错误；

对于B，由全称命题的否定为特称命题，改量词否结论，所以B正确；

对于C，的定义域为，的定义域为或，

定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误；

对于D，令，则，

，

因为，所以，即，

所以，所以，

因为，所以，即，

所以，所以，

所以，

所以，即，所以D正确，

故选：BD

【点睛】

此题考查命题的真假判断，考查推理能力和计算能力，属于中档题

10．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线为圆

B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为

C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件

D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为

【答案】AB

【解析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，曲线的方程为，

对于A总，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以是正确的；

对于B中，当时，曲线的方程为，可得，此时双曲线渐近线方程为，所以是正确的；

对于C中，当曲线的方程为表示焦点在轴上的双曲线时，则满足，解得，所以 “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；

对于D中，当曲线的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确.

故选：AB.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

11．已知函数则下列说法正确的是（    ）

A．的值域是

B．是以为最小正周期的周期函数

C．在区间上单调递增

D．在上有个零点

【答案】ACD

【解析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.

【详解】

根据题意，画出函数在的图象，如图所示

A. 根据图像可知，的值域是，正确；

B. 是以为最小正周期的周期函数，错误；

C. 在区间上单调递增，正确；

D. 在上有个零点，正确；

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.

12．一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（    ）

A．直线面

B．与面所成的角为定值

C．设面面，则有∥

D．三棱锥体积为定值.

【答案】ABC

【解析】对于A，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B，C，依托于选项A即可较容易得到.点到平面的距离不等确定，即可判断选项D.

【详解】

对于A，由中点与中点，得,

得，

由为等腰直角三角形得，由，

面，

得直线面，故A正确；

对于B，由A得，与面所成的角为，为定值，故B正确；

对于C，由A得，，故面，由面，

面面，所以∥，故C正确；

对于D，的面积为定值，

但三棱锥的高会随着点的位置移动而变化，

故D错误.

故选：ABC.

【点睛】

此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简单题.

三、填空题

13．设函数，若，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】画出的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e，1），由可得m的取值范围.

【详解】

解：如图所示：

可得的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e，1），

所以，则实数m的取值范围是，

可得答案：.

【点睛】

本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.

14．已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则数列的通项公式为_________.

【答案】

【解析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列的通项公式.

【详解】

解：，，

当时，由，可得，

即.

是以为首项，公差为的等差数列.

.

.

当时，.

当时，上式成立.

故数列的通项公式为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.

15．若，则=____________.

【答案】2020

【解析】由条件求出，化简待求式为的形式即可求解.

【详解】

因为，

解得，

所以

，

故答案为：2020

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.

16．在三棱锥中，底面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】由题可知此三棱锥外接球等价于长方体的外接球，即可求出球半径，进而求出表面积.

【详解】

由题可知两两垂直，可以把三棱锥延伸至以为长、宽、高的长方体中，且进而此三棱锥与该长方体共外接球，通过长方体可以求得外接球半径为（设外接球半径为，表面积为S）：

，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球问题，属于基础题.

四、解答题

17．①在函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称，

②向量，；

③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知_______，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求的值；

（2）求函数在上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)选择一个条件，转化条件得，将代入即可得解；

(2)令,解得的取值范围后给赋值即可得解.

【详解】

（1）选择条件①：

依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， 从而，，

又的图像关于原点对称，则，由知，

从而，

选择条件②：

依题意，

即有：

又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，

从而，

选择条件③：

依题意，

即有：

化简得：

即有：

又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，

从而，

（2），则其单调递减区间为，

解得，令，得，

从而在上的单调递减区间为.

【点睛】

本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.

18．如图所示，，，均为边长为的正三角形，点，在线段上，点在线段上，且满足， 连接、，设，.

试用，表示，，；

求的值.

【答案】，，；45.

【解析】根据向量的加减的几何意义表示出，，；

以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求出直线的方程，进而利用向量积求出的值.

【详解】

由知，

，

从而有：，

以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，

，，直线的方程为.

设，则.

即有.

则.

【点睛】

本题考查向量的数量积的运用，向量的加减的几何意义，考查转化的数学思想，属于中档题.

19．已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意，左右同除得：，利用累加法即可求得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，代入可得，利用错位相减求和法，即可求得数列的前项和.

【详解】

（1）由，两边同时除以得：

从而有：， ，，

累加可得：， 所以，

又满足等式，从而；

（2），，

所以有，

即有：，

所以.

【点睛】

本题考查累加法求数列的通项、错位相减法求数列的前项和，若出现时（为关于n的表达式），用累加法求通项；若出现时，用累乘法求通项，本题难点在于根据条件，左右同除，构造，符合累加法的形式，即可进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属于中档题.

20．若锐角中，角所对的边分别为，若的图像在点处的切线与直线垂直，求面积的最大值.

【答案】.

【解析】求出函数的导数，则根据题意可知，可得，根据可求出，根据正弦定理表示出，将面积用关于角A的三角函数表示出来，即可根据的范围求出最值.

【详解】

（1）

，

依题意，有：

从而有：

由，

，             .

依正弦定理，有，

同理 ，

从而有：，

，

当时，取到最大值，

因此，的面积最大值为.

【点睛】

本题考查导数和解三角形的综合应用，属于中档题.

21．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km，C、D两点在半圆弧上满足，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由和组成.

（1）用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；

（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在中种植鲜花，在中种植果树，在扇形内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为百万元/km2，种植草坪利润为百万元/km2，则当为何值时总利润最大？

【答案】（1）5km；（2）.

【解析】（1）根据直径的长度和角度计算出的长度，写出的函数解析式，注意定义域，判断取何值的时候有最大值并计算出最大值；

（2）将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计算函数的最值，确定取等号时的取值.

【详解】

（1）作，垂足为，在直角三角形中，，

则有，

同理作，垂足为，，

即：，

从而有：

当时，取最大值5，即观光通道长的最大值为5km.

（2）依题意，，则总利润，

，

因为，所以当时，单调递增，当时，单调递减，

从而当时，总利润取得最大值，最大值为百万元.

【点睛】

本题考查三角函数在实际问题中的应用，属于中档题.

（1）求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域；

（2）求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值.

22．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）分和两种情况讨论，在时验证即可；在时，将所求不等式变形为，由（1）中的结论可得出，参变量分离可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.

【详解】

（1），该函数的定义域为，且，

当时，，当时，.

从而函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）由于对任意的恒成立，即恒成立，

①当时，，，则恒成立；

②当时，即恒成立，

即恒成立，即，即，

由知，，由于函数在区间上单调递增，

由，可得，即.

令，其中，则，

所以，函数在区间上为增函数，则，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查了指对同构思想的应用，考查运算求解能力，属于难题.