江苏省南京市六校联合体2021届高三上学期11月联考 数学(含答案) 试卷

2020—2021学年第一学期11月六校联合调研试题
高三数学
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意的．
1.已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在 （ ▲ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合A＝{x| y＝ }，B＝{x|＜1 }，则A∩B＝ （ ▲ ）
A. {x|x＞1} B. {x|－1＜x＜0或x＞1} C. {x|0＜x＜1 } D. {x|－1＜x＜1}
3.已知命题p：xR , ax2＋ax＋1＞0， 命题q：函数y＝－(a＋1)x是减函数,则命题p成立是q成立的 （ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知非零向量a,b，若|a|＝|b|，a⊥(a－2b)，则a与b的夹角是 （ ▲ ）
A. B. C. D.
5. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，…. 共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的 （ ▲ ）
A．己亥年 B．戊戌年 C．庚戌年 D．辛丑年
6.已知直三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在球O上，且AB＝4, A A1＝6, ∠ACB＝30º,则此直三棱柱的外接球O的表面积是 （ ▲ ）
A. 25π B. 50π C. 100π D.
7.已知a＞0，b＞0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋
的最小值为 （ ▲ ）
A．2 B．4 C． D.
8.已知a＞0，函数f (x)＝(a＋1)x2－x＋sinx＋cosx＋a－2，x∈R．记函数f(x)的值域为M，函数f (f (x))的值域为N，若MN，则a的最大值是 （ ▲ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.若,则下列关系式中一定成立的是 （ ▲ ）
A. B．ea＜eb（e≈2.718）
C．（θ是第一象限角） D．ln(a2＋1) ＜ln(b2＋1)

10.已知双曲线C1：的实轴长是2，右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，
双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )
A．双曲线C1的离心率为2 B．抛物线C2的准线方程是x＝－2
C．双曲线C1的渐近线方程为y＝±x D. |AF|＋|BF|＝
11.若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2 an－2,数列{bn}满足bn = ,则下列选项正确的为 （ ▲ ）
A. 数列{an}是等差数列 B．an ＝2n
C．数列{an2}的前n项和为 D．数列{}的前n项和为Tn，则Tn＜1
12.函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，－＜φ＜0)的部分图象如图所示，已知函数f(x)在区间
[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是 （ ▲ ）

A．函数|f(x)|的最小正周期为2
B．点（，0）为函数f(x)的一个对称中心
C．函数f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象
D．函数f(x)在区间[m，0]上是增函数
第12题图

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13.已知函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，当x(0,1)时，函数f(x)＝3x，则＝ ▲ .
14.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率
为 ▲ .
15.已知边长是4的菱形ABCD，∠A＝60º, 点P是菱形ABCD内部一点，若＋3＋2＝0, 则△PBC与菱形ABCD的面积的比值是 ▲ .

16.已知对任意的x＞0，不等式xe－lnx－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且bcosAcosC＝asinBsinC＋b.
请在①b＝，②c＝2，③2sinA＝3sinC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
问题：已知_______________，计算△ABC的面积.



18.（本题满分12分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，＝7，＝48， 数列{bn}满足.
（1）证明：数列{bn－2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式；
（2）若cn＝an(bn－2)，求数列{cn}的前n项和Tn.





19.（本题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，
AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2,，AD＝CD＝1，
BC＝PC ,E是PB的中点.
（1）求证: PB⊥平面EAC
（2）求二面角P—AC—E的大小.
第19题图



20.（本题满分12分）
某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
(1) 通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ＝64，δ2＝169，试估计初试
成绩不低于90分的人数；
(2) 已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且
每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，δ2)， 则P(μ－δ＜X＜μ＋δ) ＝0.6826，
P(μ－2δ＜X＜μ＋2δ) ＝0.9544， P(μ－3δ＜X＜μ＋3δ) ＝0.9974．




21.（本题满分12分）
已知椭圆C：离心率为，点(,)在椭圆C上，P点坐标（0，），直线l: y＝－x＋m交椭圆C于A、B两点，且|PA|＝|PB|.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PAB的面积.



22.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝ax－xlnx，g(x)＝．a、b∈R，
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）已知函数f(x)的极大值为1，
①若b＝2，设1＜n＜m，证明：f(m)＜g(n)；
②设t(x)＝f(x)－g(x)，判断函数t(x)零点个数，并说明理由.






高三数学参考答案

1. A 2.B 3. D 4. A 5.C 6. C 7. D 8. A

9. BC 10. BC 11.BD 12. BCD
13. － 14. 15. 16. a≤1
17. ,
, ………………1分
因为.所以，即，………………3分
因为，所以，即，………………4分
因为.所以. ………………5分
若选①，②，
………………7分
即， ………………8分
所以的面积 .………………10分
若选②，③
由,得
又 ………………8分
所以的面积.………………10分
若选①，③
由,得， ………………6分
………………7分
即， ………………8分
所以的面积. ………………10分

18. 解（1），

所以数列是公比等比数列；………………2分
，
即;………………4分
由解得，
所以.………………6分
（2）由（1）知，

所以，①

，②
①-②得

………………10分
所以 ………………12分
19. 【解】方法一：（1）平面，平面，得.………………1分
又，在中，得，
设中点为，连接，
则四边形为边长为1的正方形，所以，且，
因为，所以，………………3分
又因为，所以平面，
又平面，所以,………………5分
因为，是的中点，
所以,因为,又平面,
直线平面. ………………7分
（2） 由（1）知平面，所以是二面角的平面角，………………9分
因为是等腰直角三角形，且是的中点，
所以
所以二面角的大小是.………………12分
方法二：（1）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，.………………2分
又，在中，得，
设中点为，连接，
则四边形为边长为1的正方形，所以，且，所以，
所以,………………4分
因为是的中点，所以,
所以,,

,
所以,,因为,又平面,
直线平面.………………7分
(2)平面，平面，得.
因为，所以，又,
所以直线平面,所以是平面一个法向量，………………9分
由（1）可知是平面一个法向量，
,,
所以,………………11分
所以二面角的大小是.………………12分

20. （1）∵学生笔试成绩X服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ＝64，δ2＝169，
μ＋2δ＝64＋2×13＝90 ………………1分
∴P(X≥90) ＝P(X≥μ＋2δ )＝（1－0.9544）＝0.0228 ………………3分
∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000＝114人 ………………4分
（2）Y的取值分别为0，3，5，8，10，13，
则P(Y＝0) ＝（1－）×（1－）2＝
P(Y＝3) ＝×（1－）2＝＝
P(Y＝5) ＝（1－）×C××（1－）＝
P(Y＝8) ＝×C××（1－）＝＝
P(Y＝10) ＝（1－）×（）2＝
P(Y＝13) ＝×（）2＝＝
Y的分布为
故的分布列为：
Y
0
3
5
8
10
13







一个概率1分………………10分

E(Y) ＝0×＋3×＋5×＋8×＋10×＋13×＝＝…………12分

21. 解:（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为．………3分
（2）设，，中点为，
由得，
，得，
，………………5分
所以，

因为，
所以,
所以，得,………………6分
所以，
，………………8分
此时，点到直线：的距离，………………10分
所以的面积.………………12分


22．解：（1）f(x)的定义域为（0，＋∞）
因为f ′(x)＝a－(lnx＋1)＝a－1－lnx，
所以f(x)的单调增区间为(0，e)，单调减区间为(e，＋∞)．……2分
（2）由（1）可知，f(x)的极大值为f(e)＝a e－eln e＝e
因为函数f(x)的极大值为1，所以e＝1，所以a＝1， ………………3分
①f(x)＝x－xlnx，f'(x)＝1－lnx－1＝－lnx，
当x＞1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
因为1＜n＜m，所以f(n)＞f(m)， ……………………………………5分
因为b＝2，所以g(x)＝
所以g(n)－f(n)＝－（n－nlnn）＝n(lnn－)
设φ(n)＝lnn－，n＞1，
则φ'(n)＝＞0，
所以φ(n)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(n)＞φ(1)＝0，
所以lnn－＞0，从而g(n)＞f(n)
又f(n)＞f(m)，所以f(m)＜g(n)．……………………………………………7分
（3）t(x)＝f(x)－g(x)＝x－xlnx－，
t(x)的零点即方程x－xlnx－＝0的解的个数，
即关于x的方程x2(lnx－1)＋lnx－1＋b＝0在(0，＋∞)上解的个数，
设h(x)＝x2(lnx－1)＋lnx－1＋b，h'(x)＝2xlnx－x＋．
设m(x)＝2xlnx－x＋，
因为m'(x)＝2lnx－＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，
所以当0＜x＜1时，m'(x)＜0；当x＞1时，m'(x)＞0，
因此m(x)在(0，1)上单调递减，m(x)在(1，＋∞)上单调递增，
从而m(x)≥m(1)＝0，即h'(x)≥0恒成立，
所以h(x)＝x2(lnx－1)＋lnx－1＋b在(0，＋∞)单调递增．………………10分
因为h(e)＝b，h(e)＝－b e，
①当b＝0时，因为h(x)在(0，＋∞)单调递增，且h(e)＝0，
所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点x＝e．
②当b≠0时，则h(e) h(e)＜0，又因为h(x)在(0，＋∞)单调递增，
所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．
综上所述，函数h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点，即t(x) 在(0，＋∞)零点个数为1个.
………12分