湖北省黄冈市部分普通高中2021届高三上学期12月联考 数学 (含答案) 试卷

2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考高三数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合，，则=（    ）A. B. C. D.2.复数z在复平面内对应点的点是，则复数（i是虚数单位）的虚部为（    ）A. B. C. D.3.中，“”是“”的（    ） A.必要不充分条件  B.充分不必要条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件4.已知，，，则（    ）A. B. C. D.5.公差不为0的等差数列中，它的前31项的平均值是12，现从中抽走1项，余下的30项的平均值仍然是12，则抽走的项是（    ）A. B. C. D.6.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（    ）A.98颗 B.106颗 C.120颗 D.126颗7.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ）A. B. C. D.8.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，其中正确的结论为（    ）A.直线与是相交直线B.直线与是平行直线C.直线与是异面直线D.直线与所成的角为60°10.已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）A.  B.数列是等比数列C.  D.数列是公差为2的等差数列11.已知函数，，则（    ）A.在上单调递减 B.是周期为的函数C.有对称轴  D.函数在上有3个零点12.已知函数，其中正确结论的是（    ）A.当时，有最大值B.对于任意的，函数是上的增函数C.对于任意的，函数一定存在最小值D.对于任意的，都有.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，的夹角为60°，，，则______.14.已知直线与圆相交于A、B两点，O为坐标原点，且的面积为，则实数m=______.15.综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C在同一水平面的A、B两点（B在A的正西方向），在A点测得樟树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______米.16.四棱锥各顶点都在球心为O的球面上，且平面，底面为矩形，，，则球O的体积是______；设E、F分别是、中点，则平面被球O所截得的截面面积为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，，函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象上的各点______得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围.在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位.18.已知等差数列的前n项和为，p，，，且.数列满足.（1）求p、q的值；（2）设数列的前2n项和为，证明：.19.在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，（1）求角A的大小；（2）若，，的平分线交边于点T，求的长.20.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，平面平面，且E，F分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为上异于B，C的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低?请说明理由.22.已知曲线（其中e为自然对数的底数）在处的切线方程为.（1）求a，b值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.参考答案：2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考高三数学试卷参考答案1.D   ，，2.B   ，，∴虚部为3.B   中，或，∴“”是“”的充分不必要条件.4.D   ，，.5.C   ，，∵从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是12，则抽走的项.6.D   作出在轴截面图如图，由题意，，，，设，则，即.则最大放入珍珠的体积一颗珍珠的体积是.由.∴最多可以放入珍珠126颗.7.A   设，图象如图，已知问题可以转化为图象与函数图象没有交点，数形结合可得或8.C   连接A，B与左右焦点F，的连线，由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，在三角形中，，所以，即即，可得，所以椭圆的离心率9.CD   在A中，直线与是异面直线，故A错误；在B中，直线与是异面直线，故B错误；在C中，直线与是异面直线，故C正确；，是等边三角形，∴直线与所成的角为60°，D正确10.ABC   公比q为正数，，又，解得，.，.，∴数列是公比为2的等比数列..，数列是公差为的等差数列.11.BD作出函数的图象，由图，函数在上单调递增，故A错误；，所以函数的周期为，故B正确；无对称轴，C错误，在上有3个零点，D正确12.BC   当时，，易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误，对于任意的，函数是上的增函数，当时，，，故，故B正确，D错误，对于任意的，，易知在单调递增，当时，，当时，，∴存在，当时，，函数单调递减，，，函数单调递增，，故C正确13.2   ，.14.   ，，，，∴圆心O到直线的距离，即，15.   根据图形知，中，，，，由正弦定理得，，解得，在中，，所以.16.n（第一空2分），（第二空3分）由题设知球心O为中点，故球O的直径，故，设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，由题设球心O到平面的距离等于点B到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法得，，故截面面积为17.解：（1）故函数的最小正周期为.（2）将的图象按照变换①：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，可得的图象，当时，，，，若方程有解，则.将的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位，可得的图象，当时，，，，若方程有解，则.18.解：（1），，，，解得.由得，解得.，.（2）等差数列的公差，.，，解得..∴数列的前项和关于n递增，.19.解：（1），即为，可得，解得或（舍去） ，由，可得；（2），即为，可得，由，可得，由得，（1）证明：取中点G，因为F是中点，，且∵E是的中点，则，且.，且.∴四边形是平行四边形，又平面，平面PEB，平面.（2）解：是正三角形边为的中点，.∵平面平面，平面平面，平面，平面，∵四边形为菱形，，∴正三角形中，，以E为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.不妨设菱形的边长为2，则，，，，则点，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，解得，不妨令，得；又，设与平面所成角为，与平面所成角的正弦值为.21.（1）证明：由题意，，所以,又，∴观光专线的总长度，，∵当时，，在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）解：设翻新道路的单位成本为，则总成本，，..g'（0） =a（，令，得，因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，取得最小值，故当时，观光专线的修建总成本最低.22.解：（1），故，解得：，故，，故切线方程是：，故；（2）证明：，，令，显然在递增，而，，故，使得，即，则，故时，，递增，时，，递减，时，，递增，故是唯一的极大值点，且令，，则，在递增，故，综上，存在唯一的极大值点，且.