2021年中考数学培优复习考点专题突破专题05 一元二次方程(考点训练)(解析版)
展开2021年中考数学培优复习考点专题突破 第二章 方程与不等式
专题05 一元二次方程
一．选择
1．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1
解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，
则x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得x＝5或x＝1，
故选：D．
2．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣9＝0配方后可变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8
解：x2﹣2x﹣9＝0，
x2﹣2x+1＝10，
（x﹣1）2＝10．
故选：A．
5．某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝200
B．50+50（1+x）2＝200
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝200
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝200
解：依题意得二、三月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝200．
故选：C．
6．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且，则m的值是（ ）
A． B．﹣3 C． D．
解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，
∵，
∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，
∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，
整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝﹣3，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
故选：C．
7．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜且a≠0 B．a＞
C．a≤且a≠0 D．a≥
解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，
解得：a＜，
∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a＜且a≠0．
故选：A．
8．关于x的一元二次方程（a+5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程+＝4有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．4 B．5 C．13 D．20
解：∵一元二次方程（a+5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，
∴a+5≠0且△＝（﹣4）2﹣4（a+5）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣9且a≠﹣5，
对于分式方程+＝4，
去分母得4﹣（x+a）＝4（x﹣3），
解得x＝，
∵分式方程+＝4有正整数解，a≥﹣9且a≠﹣5，
∴整数a为﹣9，﹣4，1，6，9，11，
而x≠3，即≠3，
∴a≠1，
∴满足条件的所有整数a的值为﹣9，﹣4，6，11，它们的和为4．
故选：A．
9．若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a、b的取值为（ ）
A．a≠0，b＝4 B．a≠0，b＝2 C．a≠﹣3，b＝4 D．a≠3，b＝4
解：由题意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2
解得a≠3，b＝4．
故选：D．
二．填空题
11．已知m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m2+2m+n﹣mn＝ ．
解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，
∴m2+2m+n﹣mn＝m+n﹣mn+1，
∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1，m+n＝﹣1，mn＝﹣1，
∴m2+2m+n﹣mn＝m2+m+（m+n）﹣mn＝1﹣1+1＝1．
故答案为：1．
12．某种音乐播放器原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
解：设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为400（1﹣x）2＝256，
故答案为：400（1﹣x）2＝256．
13．已知三角形的两边分别是3和4，第三边的数值是方程x2﹣9x+14＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
解：∵x2﹣9x+14＝0，
∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣7＝0，
解得x＝2或x＝7，
当x＝2时，三角形的周长为2+3+4＝9；
当x＝7时，3+4＝7，不能构成三角形；
故答案为：9．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，
解得m＜，
故答案为m＜．
15．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx﹣24＝0的一个根为x＝﹣3，则k的值是 ．
解：把x＝﹣3代入方程2x2﹣kx﹣24＝0，可得2×9+3k﹣24＝0，即k＝2，
故答案为：2．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝3（x﹣2）；
（2）3x2﹣4x﹣2＝0；
（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．
解：（1）∵（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝2，x2＝5；
（2）∵3x2﹣4x﹣2＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，
则△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（3）方程重新整理，得：x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
即x1＝x2＝1．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）若方程的一个根为2，求m的值．
（2）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
解：（1）根据题意得：22﹣2m﹣2＝0，
解得：m＝1，
（2）△＝b2﹣4ac＝m2+8，
∵无论m取何实数，m2≥0，
∴△＞0，
∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
（1）设x秒后，PQ＝2
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3秒后，PQ的长度等于2；
（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：
设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQB＝×BP×QB＝7
×（5﹣t）×2t＝7
∴t2﹣5t+7＝0
△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程没有实数根
∴△PQB的面积不能等于7cm2．
20．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．
（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？
（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．
解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则
3000﹣x≥25%x
解得：x≤2400
∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；
（2）由题意得：
×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）
化简得：m2﹣25m＝0
解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25
∴m的值为25．
