知识点07 一次方程（组）及其应用2018--2

这是一份知识点07 一次方程（组）及其应用2018--2，共15页。试卷主要包含了 方程组的解是等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. （2018黑龙江省龙东地区，19，分值） 为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【思路分析】先确定问题中的已知量和未知量，再找到它们之间的相等关系，进一步确定：①篮球和排球都要购买；②两种球的个数均为整数个；③资金恰好用完．
【解题过程】解：设购买篮球x个，排球y个，依题意列方程得120x＋90y＝1200，化简得4x＋3y＝40，∵x，y均为正整数，∴或或，∴共有3种购买方案，故选B．
【知识点】二元一次方程；不定方程的整数解

2． 2. （2018山东省东营市，6，3分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有爱心和笑脸两种， 两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同。由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
16元
20元
? 元



A. 19 B. 18 C. 16 D. 15
【答案】B

【解析】设笑脸气球的价格为x元一个，爱心气球的价格为y元一个，由题意得：，解得：，所以2x+2y=18（元）也可不解方程组，方程组中两个方程相加，得4x+4y=36,两边同除以2，得2x+2y=18（元）
故选B.
【知识点】识图，列二元一次方程组，解二元一次方程组，整体代入等。

3. （2018四川乐山，3，3）方程组的解是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了二元一次方程的解法，解题的关键在于掌握二元一次方程组的两种解法.解：先将其化简成方程组，得，由①得，，代入②，得，，解得，∴，∴原方程组的解是，故答案为D.
解二元一次方程组时，根据方程组的特点一般采用“代入消元法”或“加减消元法”，把二元一次方程组转化为一元一次方程，解这个一元一次方程即可得出一个解，再代入其中一个方程可求出另一个解．
【知识点】解二元一次方程组


4. 方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．
详解：，
①-②得
x=6，
把x=6代入①，得
y=4，
原方程组的解为．
故选A.
点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．

5. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号8，分值3）某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有 ( )

A, 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【答案】C
【解析】由题可知，设参加活动的男生有a人，参加活动的女生有b人，可得5a+4b=56，解得，∵a，b均为非负整数，∴b只能被5整除，即为4,9,14.∴小张可以安排学生参加活动的方案共有3种.故选C.
【知识点】二元一次方程的应用，能被5整除的数的特点.

6.（2018湖南省怀化市，7，4分）二元一次方程组的解是（ ）
　　A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】B
【解析】 +得，，解得；把代入得，．所以方程组得解是．
　　　　故选B
【知识点】解二元一次方程组

7. （2018吉林省，6, 2分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题,故选：D．
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

8. （2018内蒙古通辽，8，3分）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【答案】A
【解析】设第一件商品的进价为x，依题意得：x（1＋25%）＝150，解得：x＝120，所以赚了解150－120＝30元；设第二件商品的进价为y，依题意得：y（1－25%）＝150，解得：y＝200，所以赔了200－150＝50元，所以两件商品一共赔了20元，即亏损20元．故选A．

9.（2018湖北十堰，7，3分） 我图古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买物品，如果每人出 8钱，则剩余3钱；如果每人出七钱，则差4钱，问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组 ）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程：，故选A．

10. (2018湖南邵阳，10，3分)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁.

意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人．下列求解结果正确的是( )

A．大和尚25人，小和尚75人 B． 大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D． 大、小和尚各100人
【答案】A，【解析】设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据相等关系：大和尚吃的馒头个数＋小和尚吃的馒头个数＝100，可列方程为：3x＋＝100．解方程可得x＝25．所以大和尚25人，小和尚75人．故选A．
二、填空题
1. （2018广西省柳州市，17，3分）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为_______.
【答案】.
【解析】由胜场与负场的总场数为8列方程为x＋y＝8；由8场比赛所得总14分列方程为2x＋y＝14.将两个方程联立成方程即可.
【知识点】二元一次方程组的应用

2. （2018黑龙江绥化，19，3分）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲，乙两种体育用品（每种体育用品都购买），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元，请你设计一下，
共有 种购买方案.
【答案】两.
【解析】解：设甲种体育用品购买x件，乙种体育用品购买y件，根据题意得
20x+30y=150
∴x=，
∴当y=1时，x=6；
当y=3时，x=3.
所以共有两种购买方案.
故答案为两.
【知识点】二元一次方程的应用
3. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，14，3分） 某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A，B两个贫困地区，其中发往A区的物资比B区的物资的1．5倍少1000件，则发往A区的生活物资为 件．
【答案】3200
【解析】设发往A区的生活物资为件，则B区的物资为件依题意可列方程，解得x＝3200．
【知识点】一元一次方程应用题

4. （2018贵州铜仁，16，4）定义新运算：※=，例如3※2=，已知4※=20，则= .
【答案】4，【解析】根据新运算的定义，4※＝，∴.


5. （2018内蒙古包头，13，3分）若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为 .
【答案】－2
【解析】解二元一次方程组得，∴b－a＝－2.
【知识点】二元一次方程组的解法

6.（2018上海，9，4分）方程组的解是 .
【答案】 或 ，【解析】由方程①变形得：y = x，把它代入方程②即可得到一个关于x的方程x2+x=2，求出方程的解为x1=1 或x2=2 ，从而得出答案为 或 .

7. （2018湖北随州13，3分）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝______．
【答案】5．
【解析】根据二元一次方程组的定义，将代入，得，解得，所以a＋b＝5．（2018湖南省株洲市，15，3）小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．
【答案】20
【解析】解：设小强同学生日的日期为x，则月数为x＋2．
2(x＋2)＋x＝31．解得：x＝9．x＋2＝11，11＋9＝20．
所以小强同学生日的月数和日数的和为20．故填20．
【知识点】一元一次方程



8. （2018云南曲靖，13，3分）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，则该书包的进价为________元
【答案】80.
【解析】设书包的进价是x元，列方程为：115×0.8－x＝15%x，解得：x＝80

9.（2018年浙江省义乌市，12，5）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为____________尺，竿子长为____________尺．
【答案】20；15
【解析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：，解得：．
答：索长为20尺，竿子长为15尺．故答案为：20；15．
【知识点】二元一次方程组的应用

三、解答题
1. （2018海南省，20，8分）“绿水青山就是金山银山” ．海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个.问省级和市县级自然保护区各多少个？
【思路分析】设省级白然保护区为x个，市县级自然保护区为y个，根据题意，得，求解二元一次方程组即可．
【解题过程】设省级白然保护区为x个，市县级自然保护区为y个，根据题意，得，
解这个方程组，得，答：省级白然保护区为22个，市县级自然保护区为17个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用

2. （2018浙江嘉兴，18，6） 用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①-②,得.
解法二：由②，得3x＋（x－3y）＝2， ③
把①代入③，得3x＋5＝2．


（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误,请在错误处打“”．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【思路分析】解法一中x－4x＝﹣3x，故解法一有错．

【解答过程】（1）解法一中的计算有误（标记略）
　　（2）由①-②，得－3x＝3，解得x＝﹣1，
　　　把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．
　　　所以原方程组的解是．
3. （2018吉林长春，18，7分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元.店方表示：如果多购，可以优惠. 结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润.
（1） 每套课桌椅的成本.
（2）求商店的利润.
【思路分析】
（1） 设每套课桌椅成本为x元，则优惠后的单价为（100-x）元，然后依据商店获得了同样多的利润，列出关于x的方程，最后求出方程的解，即可.
（2） 总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数.
【解题过程】
（1）解：设每套课桌椅的成本为x 元.
由题意得60（100-x）=72（100-3-x）
解得x=82.
答：每套课桌椅的成本是82元.
（2） 由（1）得每套课桌椅的成本是82元，所以商店的利润是
60（100-x）=60（100-82）=1080
答：商店的利润是1080元
【知识点】一元一次方程解决实际问题；总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数


4. （2018江苏扬州，20，8）对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：．例如．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【思路分析】（1）根据新定义型运算法则即可求出答案；（2）列出方程组即可求出答案．
【解题过程】解：（1）；
（2）由题意得∴．
【知识点】新定义型，求代数式的值，解二元一次方程组

5. （2018广西贵港，23，8分）某中学组织一批学生开展社会实现活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60坐客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45坐客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
【思路分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数＋15＝学生总数，60×（45座客车辆数－1）＝学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．
【解答过程】（1）设这批学生的人数是x人，原计划租用45座客车y辆．
根据题意，得，解这个方程组，得．
答：这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆；
（2）租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6＝1320（元），
租60座客车：240÷60＝4（辆），所以需租4辆，租金为300×4＝1200（元）．
答：租用4辆60座客车更合算．

6.(2018湖南湘西州，20，6分)解方程组：．
【解答过程】①＋②，得4x＝8，
∴x＝2．
把x＝2代入①，得y＝1．
所以这个方程组的解为

7. （2018江苏常州，20①，4）(本小题满分8分)解方程组和不等式组：
（1）
【解答过程】②
①

解：①+② 得：3x=6
∴ x=2
将x=2代入①，得y=－1


8. （2018江苏苏州，24，8分）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多l台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？
【思路分析】 本题考查了二元一次方程组和不等式的应用.
解答第（1）时，根据题意列出地二元一次方程组来解决问题；
解答第（2）时，根据题目中的不等式关系列出不等式来解决问题.
【解答过程】（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元．
根据题意得： ，解这个方程组，得x＝3500，y＝1200．
答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元．
（2）设学校购买胛台B型打印机，则购买A型电脑为（n－l）台，
根据题意得：3500(n－1)＋1200n≤20000，
解这个不等式，得n≤5．
答：该学校至多能购买5台B型打印机．

9.（2018江苏镇江，21，6分）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，这本名著共有多少页？
【思路分析】根据相等关系“这两天共读了整本书的”列一元一次方程求解．
【解答过程】设这本名著共有页．根据题意，得
＝．
解得＝216．
答：这本名著共有216页．

10. (2018辽宁葫芦岛，21，12分)某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用．修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．
（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？
（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？

【思路分析】（1）题中的等量关系：（1）修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元；（2）修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．根据题中的等量关系列方程组，求解即可．
（2）根据题中的不等量关系列出不等式，求解即可．

【解答过程】（1）设修建一个足球场需x万元，修建一个篮球场需y万元．
根据题意，得，解得．
答：修建一个足球场需3.5万元，修建一个篮球场需5万元．
（2）设修建足球场a个，则修建篮球场(20－ a)个．
根据题意，得3.5 a＋5(20－a)≤90，解得a≥．
答：至少可以修建7个足球场．

11. （2018云南省昆明市，20，8分）（列方程（组）及不等式解应用题）
水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基础水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27．6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46．3元．（注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数）
（1）求每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果用户7月份生活水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
【思路分析】（1）根据等量关系列出二元一次方程组求解即可；（2）由题意列出一元一次不等式组即可得到该用户7月份最多可用水量．
【解题过程】解：（1）设每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是x元、y元，有题意可得，解得，
答：每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是2．45元、1元；
（2）设该用户7月份用水z立方米，∵64＞10×（1＋2．45），∴z＞10．由题意得10×2．45＋（z－10）×2．45×（1＋100%）＋z≤64，解得z≤15，∴10＜z≤15，
答：设该用户7月份最多可用水15立方米．
【知识点】二元一次方程组的实际应用；一元一次不等式组

12. （2018黑龙江哈尔滨，25，10）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜雷用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元;
(2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多
可以购买多少个A型放大镜?
【思路分析】（1）设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元．由购买8个A型放大镜和5个B型放大镜雷用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
（2）设购买a个A型放大镜，则购买B型放大镜(75－a)个．根据总费用不超过1180元，
建立不等式求出其解就可以了．
【解答过程】
(1)解:设每个A型放大镜x元，每个B型放大镜y元．
根据题意得 解得
∴每个A型放大镜20元，每个B型放大镜12元．
(2)解:设可以购买a个A型放大镜，则购买B型放大镜(75－a)个．
根据题意得20a＋12(75－a)≤1180
解得a≤35．∴最多可以购买35个A型放大镜．

13. （2018湖北恩施州，22，8分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．
（1） 求A型空调和B型空调每台各需多少元；
（2） 若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？
（3） 在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【思路分析】（1）根据题意寻找等量关系，然后布列二元一次方程组即可求解．
（2）根据题意要求列不等式，计算出A型空调可以采购的台数．总的空调的数目是一定的，因此B型空调采购的台数也可求．
（2） 要使费用最低，应尽量少采购单价较高的空调类型，尽量多的采购单价低的空调类型．
【解答过程】（1）设A型空调每台元，B型空调每台元．
由题意得，解得
A型空调每台9000元，B型空调每台6000元．
（2） 设A型空调购买台，则B型空调购买台
由题意，解得
∵x只能取整数，∴x可取10，11，12
因此，共有3种采购方案：购买10台A型空调，20台型空调．
‚购买11台A型空调，19台B型空调．
ƒ购买12台A型空调，18台型空调．
（3）要使费用最低，应尽可能少的购买型空调，尽可能多的购买B型空调．因此方案的费用最低．

14. （2018浙江舟山，18，6） 用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：
由①-②,得.
解法二：由②，得3x＋（x－3y）＝2， ③
把①代入③，得3x＋5＝2．


（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误,请在错误处打“”．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【思路分析】解法一中x－4x＝﹣3x，故解法一有错．

【解答过程】（1）解法一中的计算有误（标记略）
　　（2）由①-②，得－3x＝3，解得x＝﹣1，
　　　把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣3y＝5，解得y＝﹣2．
　　　所以原方程组的解是．