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    知识点07 一次方程(组)及其应用2018--2
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    知识点07 一次方程(组)及其应用2018--2

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    这是一份知识点07 一次方程(组)及其应用2018--2,共15页。试卷主要包含了 方程组的解是等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1. (2018黑龙江省龙东地区,19,分值) 为奖励消防演练活动中表现优异的同学,某校决定用1200元购买篮球和排球,其中篮球每个120元,排球每个90元,在购买资金恰好用尽的情况下,购买方案有( )
    A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
    【答案】B
    【思路分析】先确定问题中的已知量和未知量,再找到它们之间的相等关系,进一步确定:①篮球和排球都要购买;②两种球的个数均为整数个;③资金恰好用完.
    【解题过程】解:设购买篮球x个,排球y个,依题意列方程得120x+90y=1200,化简得4x+3y=40,∵x,y均为正整数,∴或或,∴共有3种购买方案,故选B.
    【知识点】二元一次方程;不定方程的整数解

    2. 2. (2018山东省东营市,6,3分)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有爱心和笑脸两种, 两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同。由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为( )
    16元
    20元
    ? 元



    A. 19 B. 18 C. 16 D. 15
    【答案】B

    【解析】设笑脸气球的价格为x元一个,爱心气球的价格为y元一个,由题意得:,解得:,所以2x+2y=18(元)也可不解方程组,方程组中两个方程相加,得4x+4y=36,两边同除以2,得2x+2y=18(元)
    故选B.
    【知识点】识图,列二元一次方程组,解二元一次方程组,整体代入等。

    3. (2018四川乐山,3,3)方程组的解是( ).
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】本题考查了二元一次方程的解法,解题的关键在于掌握二元一次方程组的两种解法.解:先将其化简成方程组,得,由①得,,代入②,得,,解得,∴,∴原方程组的解是,故答案为D.
    解二元一次方程组时,根据方程组的特点一般采用“代入消元法”或“加减消元法”,把二元一次方程组转化为一元一次方程,解这个一元一次方程即可得出一个解,再代入其中一个方程可求出另一个解.
    【知识点】解二元一次方程组


    4. 方程组的解是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】分析:根据加减消元法,可得方程组的解.
    详解:,
    ①-②得
    x=6,
    把x=6代入①,得
    y=4,
    原方程组的解为.
    故选A.
    点睛:本题考查了解二元一次方程组,利用加减消元法是解题关键.

    5. (2018黑龙江省齐齐哈尔市,题号8,分值3)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张,联系青年志愿者在周日参与活动,活动累计56个小时的工作时间,需要每名男生工作5个小时,每名女生工作4个小时,小张可以安排学生参加活动的方案共有 ( )

    A, 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
    【答案】C
    【解析】由题可知,设参加活动的男生有a人,参加活动的女生有b人,可得5a+4b=56,解得,∵a,b均为非负整数,∴b只能被5整除,即为4,9,14.∴小张可以安排学生参加活动的方案共有3种.故选C.
    【知识点】二元一次方程的应用,能被5整除的数的特点.

    6.(2018湖南省怀化市,7,4分)二元一次方程组的解是( )
      A.   B.   C.   D.
    【答案】B
    【解析】 +得,,解得;把代入得,.所以方程组得解是.
        故选B
    【知识点】解二元一次方程组

    7. (2018吉林省,6, 2分)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.”设鸡x只,兔y只,可列方程组为(  )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题,故选:D.
    【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

    8. (2018内蒙古通辽,8,3分)一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则商店卖这两件商品总的盈亏情况是
    A.亏损20元 B.盈利30元 C.亏损50元 D.不盈不亏
    【答案】A
    【解析】设第一件商品的进价为x,依题意得:x(1+25%)=150,解得:x=120,所以赚了解150-120=30元;设第二件商品的进价为y,依题意得:y(1-25%)=150,解得:y=200,所以赔了200-150=50元,所以两件商品一共赔了20元,即亏损20元.故选A.

    9.(2018湖北十堰,7,3分) 我图古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数,物价几何?”意思是:现在有几个人共同出钱去买物品,如果每人出 8钱,则剩余3钱;如果每人出七钱,则差4钱,问有多少人,物品的价格是多少?设有x人,物品的价格为y元,可列方程(组 )为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】设有x人,物品的价格为y元,根据题意,可列方程:,故选A.

    10. (2018湖南邵阳,10,3分)程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题:一百馒头一百僧,大僧三个更无争,
    小僧三人分一个,大小和尚得几丁.

    意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人.下列求解结果正确的是( )

    A.大和尚25人,小和尚75人 B. 大和尚75人,小和尚25人
    C.大和尚50人,小和尚50人 D. 大、小和尚各100人
    【答案】A,【解析】设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据相等关系:大和尚吃的馒头个数+小和尚吃的馒头个数=100,可列方程为:3x+=100.解方程可得x=25.所以大和尚25人,小和尚75人.故选A.
    二、填空题
    1. (2018广西省柳州市,17,3分)篮球比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场,负y场,则可列出方程组为_______.
    【答案】.
    【解析】由胜场与负场的总场数为8列方程为x+y=8;由8场比赛所得总14分列方程为2x+y=14.将两个方程联立成方程即可.
    【知识点】二元一次方程组的应用

    2. (2018黑龙江绥化,19,3分)为了开展“阳光体育”活动,某班计划购买甲,乙两种体育用品(每种体育用品都购买),其中甲种体育用品每件20元,乙种体育用品每件30元,共用去150元,请你设计一下,
    共有 种购买方案.
    【答案】两.
    【解析】解:设甲种体育用品购买x件,乙种体育用品购买y件,根据题意得
    20x+30y=150
    ∴x=,
    ∴当y=1时,x=6;
    当y=3时,x=3.
    所以共有两种购买方案.
    故答案为两.
    【知识点】二元一次方程的应用
    3. (2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市,14,3分) 某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动,现准备将6000件生活物资发往A,B两个贫困地区,其中发往A区的物资比B区的物资的1.5倍少1000件,则发往A区的生活物资为 件.
    【答案】3200
    【解析】设发往A区的生活物资为件,则B区的物资为件依题意可列方程,解得x=3200.
    【知识点】一元一次方程应用题

    4. (2018贵州铜仁,16,4)定义新运算:※=,例如3※2=,已知4※=20,则= .
    【答案】4,【解析】根据新运算的定义,4※=,∴.


    5. (2018内蒙古包头,13,3分)若a-3b=2,3a-b=6,则b-a的值为 .
    【答案】-2
    【解析】解二元一次方程组得,∴b-a=-2.
    【知识点】二元一次方程组的解法

    6.(2018上海,9,4分)方程组的解是 .
    【答案】 或 ,【解析】由方程①变形得:y = x,把它代入方程②即可得到一个关于x的方程x2+x=2,求出方程的解为x1=1 或x2=2 ,从而得出答案为 或 .

    7. (2018湖北随州13,3分)已知是关于x,y的二元一次方程组的一组解,则a+b=______.
    【答案】5.
    【解析】根据二元一次方程组的定义,将代入,得,解得,所以a+b=5.(2018湖南省株洲市,15,3)小强同学生日的月数减去日数为2,月数的两倍和日数相加为31,则小强同学生日的月数和日数的和为________.
    【答案】20
    【解析】解:设小强同学生日的日期为x,则月数为x+2.
    2(x+2)+x=31.解得:x=9.x+2=11,11+9=20.
    所以小强同学生日的月数和日数的和为20.故填20.
    【知识点】一元一次方程



    8. (2018云南曲靖,13,3分)一个书包的标价为115元,按8折出售仍可获利15%,则该书包的进价为________元
    【答案】80.
    【解析】设书包的进价是x元,列方程为:115×0.8-x=15%x,解得:x=80

    9.(2018年浙江省义乌市,12,5)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为____________尺,竿子长为____________尺.
    【答案】20;15
    【解析】设索长为x尺,竿子长为y尺,根据题意得:,解得:.
    答:索长为20尺,竿子长为15尺.故答案为:20;15.
    【知识点】二元一次方程组的应用

    三、解答题
    1. (2018海南省,20,8分)“绿水青山就是金山银山” .海南省委省政府高度重视环境生态保护,截至2017年底,全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个,其中国家级10个,省级比市县级多5个.问省级和市县级自然保护区各多少个?
    【思路分析】设省级白然保护区为x个,市县级自然保护区为y个,根据题意,得,求解二元一次方程组即可.
    【解题过程】设省级白然保护区为x个,市县级自然保护区为y个,根据题意,得,
    解这个方程组,得,答:省级白然保护区为22个,市县级自然保护区为17个.
    【知识点】二元一次方程组的实际应用

    2. (2018浙江嘉兴,18,6) 用消元法解方程组时,两位同学的解法如下:
    解法一:
    由①-②,得.
    解法二:由②,得3x+(x-3y)=2, ③
    把①代入③,得3x+5=2.


    (1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“”.
    (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
    【思路分析】解法一中x-4x=﹣3x,故解法一有错.

    【解答过程】(1)解法一中的计算有误(标记略)
      (2)由①-②,得-3x=3,解得x=﹣1,
       把x=﹣1代入①,得﹣1﹣3y=5,解得y=﹣2.
       所以原方程组的解是.
    3. (2018吉林长春,18,7分)学校准备添置一批课桌椅,原计划订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠. 结果校方实际订购了72套,每套减价3元,但商店获得了同样多的利润.
    (1) 每套课桌椅的成本.
    (2)求商店的利润.
    【思路分析】
    (1) 设每套课桌椅成本为x元,则优惠后的单价为(100-x)元,然后依据商店获得了同样多的利润,列出关于x的方程,最后求出方程的解,即可.
    (2) 总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数.
    【解题过程】
    (1)解:设每套课桌椅的成本为x 元.
    由题意得60(100-x)=72(100-3-x)
    解得x=82.
    答:每套课桌椅的成本是82元.
    (2) 由(1)得每套课桌椅的成本是82元,所以商店的利润是
    60(100-x)=60(100-82)=1080
    答:商店的利润是1080元
    【知识点】一元一次方程解决实际问题;总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数


    4. (2018江苏扬州,20,8)对于任意实数、,定义关于“”的一种运算如下:.例如.
    (1)求的值;
    (2)若,且,求的值.
    【思路分析】(1)根据新定义型运算法则即可求出答案;(2)列出方程组即可求出答案.
    【解题过程】解:(1);
    (2)由题意得∴.
    【知识点】新定义型,求代数式的值,解二元一次方程组

    5. (2018广西贵港,23,8分)某中学组织一批学生开展社会实现活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元,60坐客车租金为每辆300元.
    (1)这批学生的人数是多少?原计划租用45坐客车多少辆?
    (2)若租用同一种客车,要使每位学生都有座位,应该怎样租用才合算?
    【思路分析】(1)本题中的等量关系为:45×45座客车辆数+15=学生总数,60×(45座客车辆数-1)=学生总数,据此可列方程组求出第一小题的解;
    (2)需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金,比较后再取舍.
    【解答过程】(1)设这批学生的人数是x人,原计划租用45座客车y辆.
    根据题意,得,解这个方程组,得.
    答:这批游客的人数240人,原计划租45座客车5辆;
    (2)租45座客车:240÷45≈5.3(辆),所以需租6辆,租金为220×6=1320(元),
    租60座客车:240÷60=4(辆),所以需租4辆,租金为300×4=1200(元).
    答:租用4辆60座客车更合算.

    6.(2018湖南湘西州,20,6分)解方程组:.
    【解答过程】①+②,得4x=8,
    ∴x=2.
    把x=2代入①,得y=1.
    所以这个方程组的解为

    7. (2018江苏常州,20①,4)(本小题满分8分)解方程组和不等式组:
    (1)
    【解答过程】②


    解:①+② 得:3x=6
    ∴ x=2
    将x=2代入①,得y=-1


    8. (2018江苏苏州,24,8分)某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费9400元.
    (1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?
    (2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元,并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多l台,那么该学校至多能购买多少台B型打印机?
    【思路分析】 本题考查了二元一次方程组和不等式的应用.
    解答第(1)时,根据题意列出地二元一次方程组来解决问题;
    解答第(2)时,根据题目中的不等式关系列出不等式来解决问题.
    【解答过程】(1)设每台A型电脑的价格为x元,每台B型打印机的价格为y元.
    根据题意得: ,解这个方程组,得x=3500,y=1200.
    答:每台A型电脑的价格为3500元,每台B型打印机的价格为1200元.
    (2)设学校购买胛台B型打印机,则购买A型电脑为(n-l)台,
    根据题意得:3500(n-1)+1200n≤20000,
    解这个不等式,得n≤5.
    答:该学校至多能购买5台B型打印机.

    9.(2018江苏镇江,21,6分)小李读一本名著,星期六读了36页,第二天读了剩余部分的,这两天共读了整本书的,这本名著共有多少页?
    【思路分析】根据相等关系“这两天共读了整本书的”列一元一次方程求解.
    【解答过程】设这本名著共有页.根据题意,得
    =.
    解得=216.
    答:这本名著共有216页.

    10. (2018辽宁葫芦岛,21,12分)某爱心企业在政府的支持下投入资金,准备修建一批室外简易的足球场和篮球场,供市民免费使用.修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元,修建2个足球场和4个篮球场共需27万元.
    (1)求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元?
    (2)该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个,投入资金不超过90万元,求至少可以修建多少个足球场?

    【思路分析】(1)题中的等量关系:(1)修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元;(2)修建2个足球场和4个篮球场共需27万元.根据题中的等量关系列方程组,求解即可.
    (2)根据题中的不等量关系列出不等式,求解即可.

    【解答过程】(1)设修建一个足球场需x万元,修建一个篮球场需y万元.
    根据题意,得,解得.
    答:修建一个足球场需3.5万元,修建一个篮球场需5万元.
    (2)设修建足球场a个,则修建篮球场(20- a)个.
    根据题意,得3.5 a+5(20-a)≤90,解得a≥.
    答:至少可以修建7个足球场.

    11. (2018云南省昆明市,20,8分)(列方程(组)及不等式解应用题)
    水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水,相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户用水量不超过10立方米,每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费);若每户每月用水量超过10立方米,则超过部分每立方米在基础水价基础上加价100%,每立方米污水处理费不变.甲用户4月份用水8立方米,缴水费27.6元;乙用户4月份用水12立方米,缴水费46.3元.(注:污水处理的立方数=实际生活用水的立方数)
    (1)求每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元?
    (2)如果用户7月份生活水水费计划不超过64元,该用户7月份最多可用水多少立方米?
    【思路分析】(1)根据等量关系列出二元一次方程组求解即可;(2)由题意列出一元一次不等式组即可得到该用户7月份最多可用水量.
    【解题过程】解:(1)设每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是x元、y元,有题意可得,解得,
    答:每立方数的基本水价和每立方米的污水处理费各是2.45元、1元;
    (2)设该用户7月份用水z立方米,∵64>10×(1+2.45),∴z>10.由题意得10×2.45+(z-10)×2.45×(1+100%)+z≤64,解得z≤15,∴10<z≤15,
    答:设该用户7月份最多可用水15立方米.
    【知识点】二元一次方程组的实际应用;一元一次不等式组

    12. (2018黑龙江哈尔滨,25,10)春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材,计划购买A型、B型两种型号的放大镜.若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜雷用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元.
    (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元;
    (2)春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个,总费用不超过1180元,那么最多
    可以购买多少个A型放大镜?
    【思路分析】(1)设每个A型放大镜x元,每个B型放大镜y元.由购买8个A型放大镜和5个B型放大镜雷用220元;若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元建立两个方程,构成方程组求出其解就可以;
    (2)设购买a个A型放大镜,则购买B型放大镜(75-a)个.根据总费用不超过1180元,
    建立不等式求出其解就可以了.
    【解答过程】
    (1)解:设每个A型放大镜x元,每个B型放大镜y元.
    根据题意得 解得
    ∴每个A型放大镜20元,每个B型放大镜12元.
    (2)解:设可以购买a个A型放大镜,则购买B型放大镜(75-a)个.
    根据题意得20a+12(75-a)≤1180
    解得a≤35.∴最多可以购买35个A型放大镜.

    13. (2018湖北恩施州,22,8分)某学校为改善办学条件,计划采购A、B两种型号的空调,已知采购3台A型空调和2台B型空调,需费用39000元;4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.
    (1) 求A型空调和B型空调每台各需多少元;
    (2) 若学校计划采购A、B两种型号空调共30台,且A型空调的台数不少于B型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过217000元,该校共有哪几种采购方案?
    (3) 在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?
    【思路分析】(1)根据题意寻找等量关系,然后布列二元一次方程组即可求解.
    (2)根据题意要求列不等式,计算出A型空调可以采购的台数.总的空调的数目是一定的,因此B型空调采购的台数也可求.
    (2) 要使费用最低,应尽量少采购单价较高的空调类型,尽量多的采购单价低的空调类型.
    【解答过程】(1)设A型空调每台元,B型空调每台元.
    由题意得,解得
    A型空调每台9000元,B型空调每台6000元.
    (2) 设A型空调购买台,则B型空调购买台
    由题意,解得
    ∵x只能取整数,∴x可取10,11,12
    因此,共有3种采购方案:购买10台A型空调,20台型空调.
    ‚购买11台A型空调,19台B型空调.
    ƒ购买12台A型空调,18台型空调.
    (3)要使费用最低,应尽可能少的购买型空调,尽可能多的购买B型空调.因此方案的费用最低.

    14. (2018浙江舟山,18,6) 用消元法解方程组时,两位同学的解法如下:
    解法一:
    由①-②,得.
    解法二:由②,得3x+(x-3y)=2, ③
    把①代入③,得3x+5=2.


    (1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“”.
    (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
    【思路分析】解法一中x-4x=﹣3x,故解法一有错.

    【解答过程】(1)解法一中的计算有误(标记略)
      (2)由①-②,得-3x=3,解得x=﹣1,
       把x=﹣1代入①,得﹣1﹣3y=5,解得y=﹣2.
       所以原方程组的解是.
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