黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三12月月考数学（理）试题

哈尔滨市第六中学2018级高三上学期12月月考

理科数学

一、单选题（每题5分，共60分）

1．已知集合，则的子集共有（   ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

2．“”是“直线的倾斜角大于”的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知等差数列中，，则公差（    ）

A．-2 B． C． D．2

4．双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

5．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（    ）

A．                       B． 

C．                       D．

6．已知实数满足，则的最小值是（   ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

8．已知圆心在直线上的圆，其圆心到轴的距离恰好等于圆的半径，在轴上截得弦长为，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数为奇函数，，当取最小值时，的一个单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

11．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．函数，若，其中，则的最大值为（  ）

A． B．  C． D．

二、填空题（每题5分，共20分）

13．设复数满足，则＝         

14．已知函数，若，则_______

15．如图，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为线段的中点，为在上的射影，若平分，则该椭圆的离心率为_______

16. 已知直线、，平面、，给出下列命题：

①若，，且，则；

②若，，且，则；

③若，，，则；

④若则；

其中正确的命题序号是_____________

三、解答题（共70分）

17．（共12分）已知数列满足为等比数列，且，，.

（1）求；

（2）求．

18．（共12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．

19.（共10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值．

20.（共12分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（共12分）如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过点F作一条直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C．

（1）求椭圆E的方程；

（2）已知平面内一定点T，证明：B，T，C三点共线．

22．（共12分）已知函数，为自然对数的底数.

（1）当时，证明，，；

（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．

1-12:BACAC CCDBA BA

13-16:

17.解：（1）由且得：

，所以，

又因为数列为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2.

故，所以.

（2）由，. ，

则，，，

累加得，

.

又满足上式

18．解：（1）已知抛物线过点，且

则，∴，故抛物线的方程为；

（2）设，，

联立，得，

，得，

，，

又，则，

，

或，

经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-8．

19.（1）由消去得曲线的普通方程为.

所以的极坐标方程为，即.

（2）不妨设，，，，，

则

当时，取得最大值，最大值为.

20.（1）由题意，因为，，，∴，

又∴，∴，

∵侧面，∴.

又∵，，平面

∴直线平面.

（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

设平面的一个法向量为，，，

∵，∴，令，则，∴，

假设存在点，设，∵，，

∴，∴∴

设平面的一个法向量为，

∴，得.

即，∴或，∴或.

21．解：（1）由题意可知，，解得，，

所以，所以椭圆E的方程为.

（2） .证明B，T，C三点共线.

证明：设，，则，，

将：与，得，

从而

要证B，T，C三点共线，即证.

，得证.

22.(1)证明：当时,,则,

当时,,则,又因为,

所以当时,,仅时,,

所以在上是单调递减,所以,即.

(2),因为,所以,

①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.

②当时,在区间上单调递增,

因为.

当时,,

所以在上单调递减,没有极值点.

当时,,所以存在,使

当时,时,

所以在处取得极小值,为极小值点.

综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.