重庆市南开中学2021届高三上学期第四次质量检测（12月）数学 (含答案)

重庆南开中学高2021级高三第四次质量检测

　　　　　数学试题　　　2020.12

(考试时间： 120 分钟　 试卷满分：150分 )

注意事项：

1.   答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.   回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.   考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本 题 共 8小题，每小 题 5 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合，则A∩B＝

A.[－3，－1]  B.[－3，－1)

C.{－3，－2，－1}  D.{－3，－2}

2. “实数a , b , c成等比数列”是“b2=ac”的

A．充分不必要条件  B．充要条件

 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

3. 已知直线l1: (m + 1)x +2yl=0=, l2:8x+ (m + l) y m + l=0,若l1//l2,则m =

A.1   B. 5

 C. 1 或3   D. 3 或5

4. 在△ABC中，= ( 2 , 3 )， ,　则=

 A. 2 B. 3 C. 4  D. 6

5.  设抛物线y2 =2px(p > 0)的焦点为F , P(a ,2)为抛物线上一点，若|PF|=2,则p =

 A. . B. 1 C. 2  D.

6. 《孙子算经》记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，一共五级．现每个级别的诸侯分别有1,2,3,4,5人，按照如下规则给他们分发一批苹果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为a1,a2,a3,…，且满足ak+1=ak +k(kN*)；任一等级诸侯所得苹果数年最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个．现已知等级为男的诸侯所得苹果数为1,则这批苹果共有(　　)个．

 A. 158 B. 159 C. 160  D.161

7. 已知复数z满足|z2|=|z1i|(i为虚数单位)，则|z2i|+|z|的最小值为

A.2 B. C.3 D. /Io

8. 实数x, y满足, 则的最小值为

 A.2  B. C. 7  D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分。

9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额 y 看成以年份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是

 A.销售额 y与年份序号x呈正相关关系

 B.销售额 y与年份序号x线性相关不显著

 C.三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

D.根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元

10. 已知F为双曲线M: 的左焦点，圆Q:(x5)2+y2=5与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是
    1.    双曲线的离心率为 3
    2.     M 的渐近线方程为x±2y =0
    3.     M上存在4个不同的点P , 使得|PF | = 5
    4.    设直线l与M交于A, B两点，点C与A关于原点O对称，若l的斜率为3, 则直

线 BC的斜率为

11. 已知,下列结论正确的是

 A.若ω=1，则f(x)在上的最小值为

 B.若x1x2, f(x1)=f(x2)=0,且| x1x2|的最小值为，则ω=2

C.将f(x)的图象向右平移

个单位后，所得的图象关于点(，0)对称，则ω可能为

 D.若f(x)在 上单调递增，则ω

12. 已知函数,下列选项正确的是

A.函数f(x)在(－2，1)上单调递增

B. 函数f(x)的值域为

C.若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

D.不等式在(－1，+)恰有两个整数角，由实数a的取值范围是

三、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。

13. 在二项式的展开式中，共常数项为　　　　．
14. 如图所示，点 P 在以AB为直径的半圆弧上运动，则△PAB的最小内角不小于的概率为           .
15. 已知平面向量a, b, c满足|a|=1 ,| ab |=2,(a-c)·(b-c)=0,则｜c |的最大值为           .
16. 已知数列{an}满足:a1=,, 若上取整函数表示不小于x的最小整数(例如：) , 则=            .

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (10分) 在△ABC 中，角 A,   B,   C 所对的边分别为a,  b, c，且满足．

(1)求角C;

 (2)若a=2, △ABC的面积S△ABC =，求△ABC的周长L.

18. (12分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn,满足S5=35，且a1,a4,a13成等比数列．

  (1)求数列{an}的通项公式；

 (2)若 ，数列{bn}的前n项和为Tn，实数使得对任意nN*恒成立，求的取值范围.

19. (12 分)在平面直角坐标系下，已知动点P到定点M(8,0),N(2,0)的距离之比为2.

(1)求动点 P 的轨迹方程C;

(2)若直线l :y =kx + 2 与曲线C交于A, B两点，且|AB|[4,2],求实数k的取值范围.

20. (12分)已知函数f ( x ) =

(1) 讨论函数f(x)的单调性；

 (2)若a = l,,且，都有成立，求实数m 的取值范围．

21.(12分)已知椭圆在右、上顶点分别为A、B，F是椭圆　的左焦点，P()是椭圆上的点，且|OB|=|OF|(O是坐标原点).

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l与椭圆相切于点M(M 在第二象限)，过 O 作直线l 的平行线与直线MF相交于点N, 问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

22.(12 分)购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性。消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1,A2,A3中的一个,每个乙系列目盲盒可以开出玩偶B1,B2中的一个．

(1) 记事件En：一 次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1,A2,A3玩偶；事件 Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1,B2玩偶；求概率P(E5及P(F4)；

(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为,购买乙系列的概率为;前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为,购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn．

①Qn;

②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．