四川省成都市新津中学2021届高三12月月考 数学（理） (含答案) 试卷

新津中学高2018级（高三）12月月考试题

数学（理科）

一、选择题：（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分）

1.已知集合，，则中元素的个数为(    )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

2.若复数满足（是虚数单位），则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是(   )

A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；

D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.

4.的展开式中的系数为(    )

A. －30 B. －40 C. 40 D. 50

5.在中，，，，则在方向上的投影是（   ）

A. 4 B. 3 C. -4 D. -3

6.要得到函数图象，只需将函数的图象上所有点的（    ）

A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度

C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度

7.若，则“”的一个充分不必要条件是

A.       B.        C. 且     D. 或

8.已知等差数列公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（  ）

A. 5 B. 11 C. 20 D. 25

9.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为(    )

A. 1 B. －1 C. 8l D. －81

10.已知函数，，则的极大值点为(    )

A B. C. D.

11.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（  ）

A.    B.     C.     D.

二、填空题（每小题5分，共20分；答案写在答题卷相应题号的横线上）

13.已知，则的值为______.

14.已知实数，满足，则的最大值为______.

15.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分別为4，5，则输出的值为______.

16.在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.

三、解答题（解答应写出过程或演算步骤：17~21每题12分，选做题10分，共70分）

17.（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若的面积为，，求的周长.

18.（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

19.（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：

（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.

列联表如下

（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.

附：

20.(12分)已知椭圆的离心率，左顶点到右焦点的距离是，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：到直线的距离为定值.

21.(12分)已知函数（）

（1）函数在点处切线方程为，求函数的极值；

（2）当时，对于任意，当时，不等式恒成立，求出实数的取值范围.

选考题（共10分，请在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22.（10分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.

（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；

（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.

23.（10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数．

(1)若的解集非空，求实数的取值范围；

(2)若正数满足，为（1）中m可取到最大值，求证：．

四川省新津中学高2018级（高三）12月考数学（理）参考答案

一、选择题：（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分）

1.C. 2.A. 3.D. 4. C. 5.D 6.C. 7.C． 8.D 9.B. 10.A 11.D． 12.B.

二、填空题（每小题5分，共20分；答案写在答题卷相应题号的横线上）

13..    14..   15.1055.     16.

三、解答题（解答应写出过程或演算步骤：17~21每题12分，选做题10分，共70分）

17.【详解】（1）由题设得.

由正弦定理得

∵∴，

所以或.

当，（舍）

故，

解得.

（2），从而.

由余弦定理得

.

解得.

∴.

故三角形的周长为.

18.【详解】（1）过点交于点，连接，如下图所示：

因为平面平面，且交线为,

又四边形为正方形，故可得，

故可得平面，又平面，

故可得.

在三角形中，因为为中点，，

故可得//，为中点；

又因为四边形为等腰梯形，是的中点，

故可得//；

又，

且平面，平面,

故面面，

又因为平面，

故面.即证.

（2）连接，，作交于点，

由（1）可知平面，又因为//，故可得平面，

则；

又因为//，，故可得

即，，两两垂直，

则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，

，，，

，，

设面的法向量为，则，，

则，

可取，

设平面的法向量为，则，，

则，

可取，

可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

.

19.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续

所需时间与是否流动人员列联表如下：

办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表

结合列联表可算得.

有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.

（2）根据分层抽样可知时间在可选9人，时间在可以选3名，

故，

则，，

，，

可知分布列为

可知.

20.解：（1）∵椭圆的离心率，

∴，∴，

∴，，

∴椭圆的方程为.

（2）设，

①当直线的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：，，

∵当直线的斜率不存在时，以为直径的圆经过坐标原点，

∴，即，也就是，

又∵点在椭圆上， ∴，

∵以为直径的圆经过坐标原点，且平行于轴，

∴，∴，解得：

此时点到直线的距离

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

与椭圆方程联立有，消去，得

∴，，

同理：，消去，得，

即，∴

∵为直径的圆过坐标原点，所以，∴

∴

∴

∴

∴点到直线的距离

综上所述，点到直线的距离为定值.

21.【详解】（1）函数的定义域为，

，，，

可知，，

解得，，

可知在，时，，函数单调递增，

在时，，函数单调递减，

可知函数的极小值为，

极大值为.

（2）可以变形为，

可得，

可知函数在上单调递减

，

，

可得，

设，

，

可知函数在单调递减，

，

可知，

可知参数的取值范围为.

选考题（共10分，请在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）

22.【详解】（1）：可整理为，

利用公式可得其直角坐标方程为：，

：的普通方程为，

利用公式可得其极坐标方程为

（2）由（1）可得的直角坐标方程为，

故容易得，，

∴，∴的极坐标方程为，

把代入得，.

把代入得，.

∴，

即，两点间的距离为1.

23.试题解析：（1）去绝对值符号，可得

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围为．

（2）由（1）知，，所以．

因为，

所以要证，只需证，

即证，即证.

因为，所以只需证，

因为，∴成立，所以

解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy  

设：

证明：x+y-2xy=

             =

令

， ∴

原式=

      =

      =

      =

  当时，