2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知圆的方程为，则它的圆心坐标和半径的长分别是（    ）

A．(2，0)，5 B．(2，0)，

C．(2，0)， D．(0，2)，

【答案】B

【解析】把圆方程配方成标准方程后可得．

【详解】

由题意圆的标准方程是，圆心坐标是，半径是．

故选：B．

【点睛】

本题考查求圆心坐标和半径，解题方法把圆的一般方程配方成标准方程．

2．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由渐近线平行于直线可得两直线斜率相等，即可求出离心率.

【详解】

因为一条渐近线平行于直线，可知两直线斜率相等，

由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，

， .

故选：D．

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，属于基础题.

3．已知点是椭圆:上第一象限的一点，，分别是圆和上的点，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【解析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的几何意义，椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径即可求解.

【详解】

点是椭圆:上第一象限的一点，则点在两圆的外部，

由题可得两圆圆心坐标是，恰是椭圆的两个焦点，设，

，两圆的半径为2，1，

所以.

故选：B

【点睛】

此题考查椭圆的定义及几何性质，同时也考查了圆的几何性质，圆外一点到圆上距离的最值问题.

4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

详解：

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.

点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.

5．若直线与圆相切，则（    ）

A．1 B． C．或3 D．或1

【答案】D

【解析】由圆心到直线的距离等于半径求解．

【详解】

由题意，圆心坐标为，半径为，

因为直线与圆相切，

所以，圆心到直线的距离等于半径，

所以，解得或．

故选：D．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离等于半径确定直线是圆的切线．

6．已知线段的中点为，若点在直线上运动，则点的轨迹方程是

A．.

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设出Q（x，y），P点坐标为（x1，y1），利用中点坐标公式把P点坐标用Q点坐标表示，然后代入直线x+y-2=0整理后即可得到点Q的轨迹方程．

【详解】

设Q（x，y），P点坐标为（x1，y1），
∵线段PQ的中点为M（0，4），
∴x1=-x，y1=8-y，
∵点P在直线x+y-2=0上运动，
∴x1+y1-2=0，
∴-x+8-y-2=0，即x+y-6=0，
故选A．

【点睛】

本题考查轨迹方程，考查了代入法求曲线方程，是中档题．

7．若圆被直线分成的两段弧之比是，则满足条件的圆（     ）

A．有1个 B．有2个 C．有3个 D．有4个

【答案】B

【解析】由题,可得,则圆心到直线的距离为,求解即可得到的解得个数,即为满足条件的圆的个数

【详解】

由题,设直线与圆的交点为,,

因为将圆分成的两段弧之比是,则,设圆心到直线的距离为,

因为圆心为,半径为,

则,即,故

故选B

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,考查运算能力

8．已知抛物线的焦点为，准线为，点在准线上，做，与抛物线交于点，且在第一象限，，则直线的倾斜角等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由焦半径求出点坐标，然后可求得直线斜率后得倾斜角．

【详解】

由已知抛物线的焦点为，准线方程为，

设，则，，，∵（在第一象限），

∴，即，∴，倾斜角为．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查抛物线的焦半径公式，把抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离即可得焦半径．

9．已知椭圆的右焦点为，点，是椭圆上关于原点对称的两个点，且，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得，将左焦点与A、B连接起来，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，，可得，的关系，进而求出离心率.

【详解】

因为，所以，

因为，所以，故，

设椭圆的左焦点为，根据椭圆的性质，四边形为平行四边形，

且，所以四边形为矩形，

在直角三角形中，，，，

根据椭圆的定义，，即，

则椭圆的离心率.

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题.

10．已知椭圆的右焦点为，以上点为圆心的圆与轴相切于点，并与轴交于，两点.若，则的焦距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先得出圆的的方程，令结合韦达定理得到，按照向量数量积的坐标运算代入得到关于的方程解出即可.

【详解】

设，则，

圆的方程为，

即，

令，得，

当时，.

设，，

则，，则，

所以，解得，所以焦距为，

故选：C.

【点睛】

本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的数量积等基础知识，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性.

11．设双曲线的左焦点为，直线过点且与在第二象限的交点为，为原点，，则的离心率为(    )

A．5 B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线过点可先求得,再画图分析可知为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可.

【详解】

因为直线与轴的交点为,故半焦距为.

设双曲线的右焦点为,连接,根据可得为直角三角形,

如图,过作垂直于直线,垂足为,则易知为的中位线.

又到直线的距离,所以,,

故结合双曲线的定义可知,所以.

故离心率.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题.

12．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点.若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．

【详解】

抛物线的焦点为，直线方程为，

由得，设，则，

又，，∴，

∴，

圆的标准方程是，圆心为，半径为，

∴，

∵，∴，解得，∵，∴．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查抛物线的焦点弦长公式，由直线方程与抛物线方程联立消元后求得，由焦点是的抛物线的焦点弦长为可表示出弦长．

二、填空题

13．设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是　      　．

【答案】2x2﹣2y2=1

【解析】【详解】试题分析：椭圆中，∵中心在原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，∴双曲线中，∵椭圆的离心率为，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，

∴双曲线中，，，∴双曲线的方程为.

【考点】1.双曲线的标准方程；2.椭圆的简单性质；3.双曲线的简单性质．

14．已知焦点为的抛物线上有一动点，点，则的最小值是_______________.

【答案】3

【解析】作出准线，过，作，垂足为，利用转化为可求得最小值．

【详解】

如图，设是抛物线的准线，作于，则，

∴，

由已知准线方程为，显然当三点共线时，取得最小值．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查抛物线上点到焦点和定点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到焦点的距离．

15．如图，椭圆的上、下顶点分别为，，左、右顶点分别为，，若线段的垂直平分线恰好经过，则椭圆的离心率是__________.

【答案】

【解析】根据线段的垂直平分线恰好经过可得，即，即可求出椭圆的离心率.

【详解】

因为线段的垂直平分线恰好经过，所以，即，

所以，即，又，

所以，即，所以，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题.

16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，右焦点与抛物线：的焦点重合.椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，则有 ，，再由求解.

【详解】

因为椭圆与抛物线交于，两点，，，三点共线，

所以 ，，

，

即 ，

所以，

所以，

解得 .

故答案为：

【点睛】

本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知圆心为的圆经过点三个点.

（1）求的面积；

（2）求圆的方程.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）求出，写出直线方程，求出到直线的距离，可得面积；

（2）设圆的一般方程为，代入三点为坐标，求出，得圆一般方程，可配方得标准方程．

【详解】

（1）由已知，

直线方程为，即，到直线的距离为，

∴；

（2）设圆的一般方程为，

∵圆过三个点.，

∴，解得，

∴圆方程为，即．

【点睛】

本题考查求三角形面积，求过三点的圆的方程．求过三点圆方程，一般可设圆的一般方程，代入三点坐标后解方程组即可，本题也可先证明，得圆心是中点，再求得半径即可得圆方程．

18．已知是椭圆上的一动点.

（1）定点，求的最小值；

（2）求到直线距离的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，直接求出，然后由函数知识得最小值．

（2）设，求出点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最大值．

【详解】

（1）设，在椭圆上，∴，．

∴，

∴时，；

（2）在椭圆上，设，

则到直线距离为，其中，取锐角．

∴当时，．

【点睛】

本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐标，求出距离，再由函数知识知识求解即可．

19．已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若，求直线l的斜率.

【答案】（1）；（2）1或.

【解析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程；

（2）设，直线方程为，代入抛物线方程后由韦达定理得，然后由焦点弦长公式可求得．

【详解】

（1）由题意，，∴抛物线方程为；

（2）由（1）知焦点为，

若直线斜率不存在，则，不合题意，因此设直线方程为，

由得，

设，则，

，解得或．

【点睛】

本题考查抛物线的焦半径公式，焦点弦长，掌握抛物线的定义是解题关键．

20．已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，为的中点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若的中垂线与的准线交于点，且，求直线的斜率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求出，再求抛物线的方程即可；

（2）先设直线，再联立方程求出，接着用表示出、，由已知建立方程求出，最后求出直线的斜率即可.

【详解】

解：（1）设，，由抛物线定义可知：

∴，即抛物线的方程为.

（2）设直线

∴.

.

.

由得：，解得或（舍）

所以直线的斜率为.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义的几何意义求抛物线的方程、弦长公式、利用直线与抛物线的位置求斜率，是中档题.

21．设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，直线的倾斜角为，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，求椭圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线方程为，联立，解得，根据，由求解.

（2）根据，结合（1）的数据代入求解.

【详解】

（1）设，由题意得，

直线方程为：，联立得，

解得，

因为，

所以，

即，

所以.

（2）因为，

所以，

又，则，

解得，

所以椭圆的方程是.

【点睛】

本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

22．已知是椭圆：在正半轴上的焦点，该椭圆的离心率，直线和过点且与该椭圆分别交于四点.

（1）求的值；

（2）若，求四边形的面积的最大值和最小值.

【答案】（1）2；（2）最大值2，最小值

【解析】（1）根据离心率的概念列出方程，解出即可；（2）当MN或PQ中有一条直线垂直于轴时，另一条直线必垂直于轴，易得面积为2，当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理与弦长公式相结合可得，所以，结合基本不等式可得，由此入手结合题设条件能够导出最大值及最小值．

【详解】

（1）∵，∴

（2）当MN或PQ中有一条直线垂直于轴时，另一条直线必垂直于轴．

不妨设轴，则轴，

∵，∴MN的方程为：，PQ的方程为：，

分别代入椭圆中得：，，

，

当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，

设MN的方程为，

代入椭圆中得：，

∴，，

∴，同理可得：，

（当且仅当即时，取等号），

又，

∴此时．

综上可知：，．

【点睛】

本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题昌要认真审题，仔细解答，避免错误，属于难题.