黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三12月月考数学（理）试题

哈尔滨市第六中学2018级高三上学期12月月考理科数学一、单选题（每题5分，共60分）1．已知集合，则的子集共有（   ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．“”是“直线的倾斜角大于”的（   ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知等差数列中，，则公差（    ）A．-2 B． C． D．24．双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为（  ）A． B． C． D．5．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于（    ）A．                       B． C．                       D．6．已知实数满足，则的最小值是（   ）A．4 B．5 C．6 D．77．已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（    ）A．3 B．4 C．6 D．88．已知圆心在直线上的圆，其圆心到轴的距离恰好等于圆的半径，在轴上截得弦长为，则圆的方程为（    ）A． B．C． D．9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（    ）A． B． C． D．10．已知函数为奇函数，，当取最小值时，的一个单调递减区间是（    ）A． B． C． D．11．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（    ）A． B． C． D．12．函数，若，其中，则的最大值为（  ）A． B．  C． D．二、填空题（每题5分，共20分）13．设复数满足，则＝          14．已知函数，若，则_______15．如图，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为线段的中点，为在上的射影，若平分，则该椭圆的离心率为_______16. 已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则；②若，，且，则；③若，，，则；④若则；其中正确的命题序号是_____________三、解答题（共70分）17．（共12分）已知数列满足为等比数列，且，，.（1）求；（2）求．18．（共12分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．19.（共10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值． 20.（共12分）如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．   21．（共12分）如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过点F作一条直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C．（1）求椭圆E的方程；（2）已知平面内一定点T，证明：B，T，C三点共线． 22．（共12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）当时，证明，，；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围． 
1-12:BACAC CCDBA BA13-16:17.解：（1）由且得：，所以，又因为数列为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2. 故，所以.（2）由，. ，则，，，累加得， .又满足上式18．解：（1）已知抛物线过点，且则，∴，故抛物线的方程为；（2）设，，联立，得，，得，，，又，则，，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-8．19.（1）由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为，即.（2）不妨设，，，，，则当时，取得最大值，最大值为.20.（1）由题意，因为，，，∴，又∴，∴，∵侧面，∴.又∵，，平面∴直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，设平面的一个法向量为，，，∵，∴，令，则，∴，假设存在点，设，∵，，∴，∴∴设平面的一个法向量为，∴，得.即，∴或，∴或.21．解：（1）由题意可知，，解得，，所以，所以椭圆E的方程为.（2） .证明B，T，C三点共线.证明：设，，则，，将：与，得，从而要证B，T，C三点共线，即证.，得证.22.(1)证明：当时,,则,当时,,则,又因为,所以当时,,仅时,,所以在上是单调递减,所以,即.(2),因为,所以,①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.②当时,在区间上单调递增,因为.当时,,所以在上单调递减,没有极值点.当时,,所以存在,使当时,时,所以在处取得极小值,为极小值点.综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.