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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题14 导数的应用(含解析)

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    考点14 导数的应用
    1、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象如图所示,则函数y=log2(x2+bx+)的单调递减区间为(  )

    A.  B.[3,+∞)
    C.[-2,3]   D.(-∞,-2)

    2、已知函数y=f ′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为(  )

    A.(-∞,1)   B.(-∞,0)和(2,+∞)
    C.(1,2)  D.R
    3、若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为(  )
    A.  B.
    C. D.
    4、已知函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则实数m=(  )
    A.0  B.1  
    C.2 D.3
    5、已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极大值、极小值分别为(  )
    A.-,0   B.0,-
    C.,0 D.0,
    6、已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(  )
    A.[-3,+∞)  B.(-3,+∞)
    C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]
    7、已知函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为(  )
    A.-1  B.
    C. D.+1
    8、已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x+x=(  )

    A.  B.
    C. D.
    9、函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是(  )
    A.[-5,0)   B.(-5,0) 
    C.[-3,0) D.(-3,0)

    10、已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f ′(x),给出以下命题:
    ①f(x)的单调递减区间是;
    ②f(x)的极小值是-15;
    ③当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f ′(a)(x-a);
    ④函数f(x)有且只有一个零点.
    其中真命题的个数为(  )
    A.1   B.2  
    C.3 D.4
    11、已知函数f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上单调递增,则实数m的取值范围是________.
    12、已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)=-3,且对任意的x∈R总有f ′(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为________.
    13、已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
    14、已知函数f(x)的导函数为f ′(x)=5+cos x,x∈(-1,1),且f(0)=0,如果f(1-x)+f(1-x2)<0,则实数x的取值范围为__________.
    15、函数f(x)=x3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.
    16、已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________.
    17、已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是________.
    18、已知函数f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
    ①f(0)f(1)>0;  ②f(0)f(1)<0;
    ③f(0)f(3)>0;  ④f(0)f(3)<0.
    其中正确结论的序号是________.
    19、已知函数f(x)=-ex(a>0).
    (1)求函数f(x)的单调区间;
    (2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值.
    20、已知函数f(x)=xln x.
    (1)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
    (2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值.




    考点14 导数的应用
    1、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象如图所示,则函数y=log2(x2+bx+)的单调递减区间为(  )

    A.  B.[3,+∞)
    C.[-2,3]   D.(-∞,-2)
    【答案】D
    【解析】因为f(x)=x3+bx2+cx+d,所以f ′(x)=3x2+2bx+c,由图可知f ′(-2)=f ′(3)=0,所以解得令g(x)=x2+bx+,则g(x)=x2-x-6,g′(x)=2x-1,由g(x)=x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.令g′(x)<0,解得x<,所以g(x)=x2-x-6在(-∞,-2)上为减函数,所以函数y=log2的单调递减区间为(-∞,-2).

    2、已知函数y=f ′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为(  )

    A.(-∞,1)   B.(-∞,0)和(2,+∞)
    C.(1,2)  D.R
    【答案】B
    【解析】因为函数y=x是R上的减函数,所以f ′(x)>0的充分必要条件是0<f ′(x)<1, f ′(x)<0的充分必要条件是f ′(x)>1.由图象可知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,0<f ′(x)<1,即f ′(x)>0.
    所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞).故选B.
    3、若曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,则a的取值范围为(  )
    A.  B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】结合函数y=ax2(a>0)和y=ex的图象可知,要使曲线C1:y=ax2(a>0)与曲线C2:y=ex存在公共切线,只要ax2=ex在(0,+∞)上有解,从而a=.令h(x)=(x>0),则h′(x)==,令h′(x)=0,得x=2,易知h(x)min=h(2)=,所以a≥.
    4、已知函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则实数m=(  )
    A.0  B.1  
    C.2 D.3
    【答案】B
    【解析】f ′(x)=(x-m)2+2x(x-m)=(x-m)·(3x-m).由f ′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时, f ′(x)=3(x-1)(x-3),当1<x<3时, f ′(x)<0;当x<1或x>3时, f ′(x)>0.此时在x=1处取得极大值,不合题意.所以m=1,此时f ′(x)=(x-1)(3x-1),当<x<1时, f ′(x)<0;当x<或x>1时, f ′(x)>0.此时在x=1处取得极小值.选B.
    5、已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于点(1,0),则f(x)的极大值、极小值分别为(  )
    A.-,0   B.0,-
    C.,0 D.0,
    【答案】C
    【解析】由题意知, f ′(x)=3x2-2px-q,由f ′(1)=0, f(1)=0得解得p=2,q=-1,∴f(x)=x3-2x2+x.由f ′(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,易知当x=时, f(x)取极大值,当x=1时, f(x)取极小值0.
    6、已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(  )
    A.[-3,+∞)  B.(-3,+∞)
    C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]
    【答案】D
    【解析】由题意知f ′(x)=3x2+6x-9,令f ′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f ′(x), f(x)随x的变化情况如下表:
    x
    (-∞,-3)
    -3
    (-3,1)
    1
    (1,+∞)
    f ′(x)

    0

    0

    f(x)

    极大值

    极小值

    又f(-3)=28, f(1)=-4, f(2)=3, f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.
    7、已知函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为(  )
    A.-1  B.
    C. D.+1
    【答案】A
    【解析】由f(x)=得f ′(x)=.当a>1时,若x>,则f ′(x)<0, f(x)单调递减;若1<x<,则f ′(x)>0, f(x)单调递增.故当x=时,函数f(x)有最大值=,得a=<1,不合题意;当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为f(1)=,不合题意;当0<a<1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,此时最大值为f(1)==,得a=-1,符合题意,故a的值为-1.选A.
    8、已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x+x=(  )


    A.  B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),因此解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f ′(x)=3x2-6x+2.因为x1,x2是方程f ′(x)=3x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=2,x1x2=,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.
    9、函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是(  )
    A.[-5,0)   B.(-5,0) 
    C.[-3,0) D.(-3,0)

    【答案】C
    【解析】由题意知, f ′(x)=x2+2x=x(x+2),令f ′(x)=0,解得x=0或-2,故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,做出其图象如图所示.
    令x3+x2-=-得,x=0或x=-3,则结合图象可知,解得 a∈[-3,0).故选C.
    10、已知函数f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为f ′(x),给出以下命题:
    ①f(x)的单调递减区间是;
    ②f(x)的极小值是-15;
    ③当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f ′(a)(x-a);
    ④函数f(x)有且只有一个零点.
    其中真命题的个数为(  )
    A.1   B.2  
    C.3 D.4
    【答案】C
    【解析】f ′(x)=3x2-4x-4=(x-2)(3x+2).①令f ′(x)<0,得-<x<2,所以f(x)的单调递减区间是;②令f ′(x)>0,得x<-或x>2,结合①可知f(x)的极小值是f(2)=-15;③显然当a>2时,对任意的x>2且x≠a,恒有f(x)>f(a)+f ′(a)(x-a)不成立;④f=-<0, f(2)=-15<0,并结合①②易知f(x)有且只有一个零点.故选C.
    11、已知函数f(x)=-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上单调递增,则实数m的取值范围是________.
    【答案】[2,4]
    【解析】f ′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,由题意可知,f ′(x)≥0在R上恒成立,所以Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=4(m2-6m+8)≤0,解得2≤m≤4.
    12、已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)=-3,且对任意的x∈R总有f ′(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为________.
    【答案】(4,+∞)
    【解析】令g(x)=f(x)-3x+15,则g′(x)=f ′(x)-3<0,所以g(x)在R上是减函数.又g(4)=f(4)-3×4+15=0,所以f(x)<3x-15的解集为(4,+∞).
    13、已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
    【答案】(0,1)∪(2,3)
    【解析】由题意知f ′(x)=-x+4-=-,由f ′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,所以1∈(t,t+1)或3∈(t,t+1)⇔或⇔ 0<t<1或2<t<3.
    14、已知函数f(x)的导函数为f ′(x)=5+cos x,x∈(-1,1),且f(0)=0,如果f(1-x)+f(1-x2)<0,则实数x的取值范围为__________.
    【答案】(1,)
    【解析】∵f ′(x)是偶函数,且f(0)=0,
    ∴原函数f(x)是奇函数,且定义域为(-1,1).又导函数值恒大于0,∴原函数在定义域上单调递增, ∴所求不等式可变形为f(1-x)<f(x2-1),∴-1<1-x<x2-1<1,解得1<x<,∴实数x的取值范围是(1,).
    15、函数f(x)=x3+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.
    【答案】-
    【解析】f′(x)=x2+2x-3,令f′(x)=0得x=1(x=-3舍去).又f(0)=-4, f(1)=-, f(2)=-,故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)=-.
    16、已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________.
    【答案】-7
    【解析】由题意得f ′(x)=3x2+6ax+b,则解得或经检验当a=1,b=3时,函数f(x)单调递增无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7.
    17、已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是________.
    【答案】(-∞,-3)∪(6,+∞)
    【解析】对函数f(x)求导得f ′(x)=3x2+2mx+m+6,要使函数f(x)既存在极大值又存在极小值,则f ′(x)=0有两个不同的根,所以判别式Δ>0,即4m2-12(m+6)>0,所以m2-3m-18>0,解得m>6或m<-3.
    18、已知函数f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
    ①f(0)f(1)>0;  ②f(0)f(1)<0;
    ③f(0)f(3)>0;  ④f(0)f(3)<0.
    其中正确结论的序号是________.
    【答案】②③
    【解析】∵f ′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)·(x-3),由f ′(x)<0,得1<x<3;由f ′(x)>0,得x<1或x>3.
    ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1),(3,+∞)上是增函数.
    又a<b<c, f(a)=f(b)=f(c)=0, 
    ∴y极大值=f(1)=4-abc>0,y极小值=f(3)=-abc<0,
    ∴0<abc<4.
    ∴a,b,c均大于零,或者a<0,b<0,c>0.
    又x=1,x=3为函数f(x)的极值点,∴a<0,b<0,c>0不成立,如图

    ∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0, f(0)f(3)>0,∴正确结论的序号是②③.
    19、已知函数f(x)=-ex(a>0).
    (1)求函数f(x)的单调区间;
    (2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值.
    【答案】(1) 单调递增区间为 ;单调递减区间为 (2) 当1<ln<2,即<a<时,f(x)max=f=ln-;
    当ln≤1,即a≥时,f(x)max=f(1)=-e.
    【解析】(1)f(x)=-ex(a>0),则f ′(x)=-ex.
    令f ′(x)-ex=0,则x=ln .
    当x变化时, f ′(x), f(x)的变化情况如下表:
    x

    ln

    f ′(x)

    0

    f(x)

    极大值

    故函数f(x)的单调递增区间为;单调递减区间为.
    (2)当ln≥2,即0<a≤时, f(x)max=f(2)=-e2;
    当1<ln<2,即<a<时,f(x)max=f=ln-;
    当ln≤1,即a≥时,f(x)max=f(1)=-e.
    20、已知函数f(x)=xln x.
    (1)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
    (2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值.
    【答案】(1) [-3,+∞) (2) 4
    【解析】(1)由题意得g′(x)=f ′(x)+a=ln x+a+1.
    ∵函数g(x)在区间[e2,+∞)上为增函数,
    ∴当x∈[e2,+∞)时,g′(x)≥0,
    即ln x+a+1≥0在[e2,+∞)上恒成立.
    ∴a≥-ln x-1.
    令h(x)=-ln x-1,∴a≥h(x)max,
    当x∈[e2,+∞)时,ln x∈[2,+∞),
    ∴h(x)∈(-∞,-3],∴a≥-3,即a的取值范围是[-3,+∞).
    (2)∵f(x)≥,∴2f(x)≥-x2+mx-3,即mx≤2xln x+x2+3.
    又x>0,∴m≤在∈(0,+∞)上恒成立.
    记t(x)==2ln x+x+,
    ∴m≤t(x)min.
    ∵t′(x)=+1-==,
    令t′(x)=0,得x=1或-3(舍).
    当x∈(0,1)时,t′(x)<0,函数t(x)在(0,1)上单调递减;
    当x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,函数t(x)在(1,+∞)上单调递增.
    ∴t(x)min=t(1)=4,即m的最大值为4.


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