【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题25 平面向量基本定理及坐标表示（含解析）
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1、已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)．若a∥b，则( )
A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0
C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0
2、已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
3、若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(3,5)，＝(2,4)，则＝( )
A．(－1，－1) B．(5,9)
C．(1,1) D．(3,5)
4、已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)．若a∥b，则3a＋2b＝( )
A．(7,2) B．(7，－14)
C．(7，－4) D．(7，－8)
5、设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．0
6、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
7、已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为( )
A. B．
C. D．
8、在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．2 B．
C．2 D．4
9、已知向量，，满足，则__________．
10、若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________．
11、已知向量，，若，则__________．
12、在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
11．(2018青海西宁质检)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示．若＝λ＋μ，则λμ＝________.
13、P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.
14、已知点，，则与向量方向相同的单位向量为________．
16．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是____________．
15、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆
弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
16、已知向量，，
（1）设，求；
（2）求向量在方向上的投影．
17、已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量，的夹角为，求的值．
18、如图，在中，点为直线上的一个动点，且满足．
（1）若，用向量，表示；
（2）若，，且，请问取何值时使得？
考点25 平面向量基本定理及坐标表示
1、已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)．若a∥b，则( )
A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0
C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0
【答案】C
【解析】∵a∥b，∴3y＋4x＝0.故选C.
2、已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
【答案】A
【解析】由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x，12＋y)＝(0,0)，
所以解得
所以c＝(－23，－12)．
3、若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(3,5)，＝(2,4)，则＝( )
A．(－1，－1) B．(5,9)
C．(1,1) D．(3,5)
【答案】A
【解析】由题意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．
4、已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)．若a∥b，则3a＋2b＝( )
A．(7,2) B．(7，－14)
C．(7，－4) D．(7，－8)
【答案】B
【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．
5、设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．0
【答案】B
【解析】因为a与b方向相反，故可设b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.
6、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
【答案】D
【解析】设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
7、已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为( )
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝＝.∴＝.
8、在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．2 B．
C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为||＝2，∠AOC＝，所以点C的坐标为(，)．又＝λOA＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2 .
9、已知向量，，满足，则__________．
【答案】
【解析】因为向量，，，
，，
，故答案为．
10、若A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)三点共线，则实数a的值为________．
【答案】－
【解析】＝(a－1,3)，＝(－3,4)，由题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
11、已知向量，，若，则__________．
【答案】10
【解析】由题意可得：，，
即，，则，
据此可知：．
12、在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
【答案】(－6,21)
【解析】∵＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴＝2＝2(－3,2)＝(－6,4)．又＝＋＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．
11．(2018青海西宁质检)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示．若＝λ＋μ，则λμ＝________.
【答案】－3
【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.
13、P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝________.
【答案】{(－13，－23)}
【解析】集合P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，集合Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则得此时a＝b＝(－13，－23)．
14、已知点，，则与向量方向相同的单位向量为________．
【答案】
【解析】，，与向量方向相同的单位向量为．
16．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是____________．
【答案】
【解析】因为在的延长线上，故，共线反向，故，设，
则，解得，的坐标为，故填．
15、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆
弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
【解】以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为，
设∠AOC＝α，则点C的坐标为(cos α，sin α)，
由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，
又α∈，则α＋∈.
所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.
16、已知向量，，
（1）设，求；
（2）求向量在方向上的投影．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），．
（2）向量在方向的投影．
17、已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量，的夹角为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由可得，即，
化简可得，则．
（2）由题意可得，，，
而由，的夹角为可得，因此有，
则．
18、如图，在中，点为直线上的一个动点，且满足．
（1）若，用向量，表示；
（2）若，，且，请问取何值时使得？
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，∴，
∴．
（2）由题意知．∵，
∴，∴．
∵，∴，
∴，
解得．
