中考数学 专项训练 考点54 巧作三线合一构造全等三角形

专题54巧作三线合一构造全等三角形

【专题说明】

三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

【模型展示】

如右图，在中，

①若AB=AC,,则,

②若AB=AC, ,则,

③若AB=AC, ,则,

④若, ,则AB=AC,

⑤若, ,则, AB=AC

⑥若, ,则AB=AC,

等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。

【精典例题】

1.如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数

【解析】∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°

∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)=(180°−100°)=40°

∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°

∴AD平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD=50°

2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB于点E，若CD=4，且△BDC的周长为24，求AE长

【解析】∵AD=DB=BC，CD=4，且△BDC的周长为24

∴AD=DB=BC=10，∴AC=14

∵AB=AC，∴AB=14

∵AD=DB，DE⊥AB

∴AE=BE=AB=7

3.已知：三角形ABC中,∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

【解析】证明：连接AD，∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，

∴AD=BD=CD，且AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=45°

在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，

∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF，∠BDE=∠ADF

∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°

即∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形。

4、已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC，证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D

∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°

在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（AAS）

∴AB=AC（全等三角形对应边相等）

5.如图，△ABC中，AC=2 AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.

【解析】

证明：作EF⊥AC于F，

∵EA=EC，

∴AF=FC=AC

∵AC=2AB

∴AF=AB

∵AD平分∠BAC交BC于D

∴∠BAD=∠CAD

在△BAE和△FAE中，AB=AF，∠BAD=∠CAD，AE=AE

∴△ABE≌△AFE(SAS)

∴∠ABE=∠AFE=90°

∴EB⊥AB.

6.如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF=2CD.

【解析】

证明：延长BA交CD的延长线于点E.

∵BF是∠CBA的角平分线，∴∠CBF=∠DBA

∵BD⊥CE，∴∠BDC=∠EDB

∵∠CBF=∠DBA，BD=BD，∠BDC=∠EDB

∴△BDC≌△BDE，∴CD=DE

∵∠BAC=90°

∴AC⊥AB，即△BAF是直角三角形

∵∠BAC=90°，∠BDC=90°

∴∠BAC=∠BDC

∵∠DBA+∠BED=∠BDC，∠ECA+∠AEC=∠BAC，∠BAC=∠BDC，∠AEC=∠BED

∴∠DBA=∠ECA

∵∠DBA=∠ECA，AB=AC，∠BAC=∠CAE=90°

∴△CAE≌△BAF

∴BF=CE

∵CD+DE=CE，CD=DE，BF=CE

∴BF=2CD.

7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C，求证：CD=AB+BD.

【解析】

证明：在DC上找一点M，使得DM=DB，连接AM.

∵AD⊥BC，DM=BD

∴AD是BM的垂直平分线

∴AB=AM

∴∠B=∠AMB

∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC

∴∠MAC=∠C

∴AM=CM

∴CM=AB

∴CD=DM+MC=BD+AB.

8、已知：如图，AB=CD，AC与BD交于点O，且AC=BD．求证：∠ABO=∠DCO

证明：如图，连接AD

在△ABD和△DCA中，，∴△ABD≌△DCA（SSS）

∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等）

9、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD且AD=BC．

证明：如图，连接AC

∵AB∥CD

∴∠CAB=∠ACD

∵AD∥BC

∴∠DAC=∠BCA

在△ABC和△CDA中，,∴△ABC≌△CDA（ASA）

∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）

10、已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点，求证：AF⊥CD．

证明：如图，连接AC，AD

在△ABC和△AED中，,∴△ABC≌△AED（SAS）

∴AC=AD（全等三角形对应边相等）

∵F是CD的中点，∴CF=DF

在△ACF和△ADF中，,∴△ACF≌△ADF（SSS）

∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）

∵∠CFA+∠DFA=180°，∴∠CFA=90°，∴AF⊥CD

11、已知：如图，在△ABC中，点D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求证：BD=BE．

证明：如图，过点B作BF⊥AC于点F

∵BF⊥AC，∴∠BFA=∠BFC=90°

在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（AAS）

∴AB=CB（全等三角形对应边相等）

在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（ASA）

∴BD=BE（全等三角形对应边相等）

12、已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．

证明：如图，

∵BC⊥AD

∴∠ACE=∠BCD=90°

在Rt△ACE和Rt△BCD中，∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）

∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）

∵∠ACE=90°

∴∠CAE+∠AEC=90°

∵∠AEC=∠BEF

∴∠CBD+∠BEF=90°

∴∠BFE=90°

∴AF⊥BD