中考数学 专项训练 考点57 三角形中作辅助线造全等

专题57三角形中作辅助线造全等
1、如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．
（Ⅰ）求C点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，M）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求M+n的值．

【解析】（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：

∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），
故答案为（﹣6，﹣2）；
（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，

则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；
（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，

则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，
∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，
在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，
又∵G（0，M），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），
∴OT═OS＝4，
∴GT＝﹣4﹣M，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，
∴﹣4﹣M＝n+4，
∴M+n＝﹣8．

2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE．
（1）补全图形；
（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；
（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE的最小值．

【解析】（1）如图1所示：

（2）MD＝BE．证明：延长AM交BC于点F，如图．

∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．
∵AD⊥AB，∴∠MAD+∠BAM＝90°．∴∠MAD+∠CAM＝90°
∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAD＝∠C．
又∵AM＝CE，AD＝BC，∴△AMD≌△CEB．∴MD＝BE．
（3）点M的位置如图2，
∵AB＝5，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∴．
∴BM+BE的最小值为．
3、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；
（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．

（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，
∴CG＝CH

∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，
∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，
∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴CD＝CE；
（2）由（1）得△CDG≌△CEH，
∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，
设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：OH2+CH2＝OC2
∴x2+x2＝32
∴（舍负）
∴OH＝
∴OD+OE＝2OH＝；
（3）如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，

∵OC平分∠AOB，
∴CG＝CH，
∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°，
∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDG+∠CDO＝180°，
∴∠CDG＝∠CEO，
在△CDG与△CEH中，，∴△CDG≌△CEH（AAS），
∴DG＝HE，
由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形，且OG＝OH，
∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，
∴S四边形OECD＝S四边形OHCG＝2S△OCG
在Rt△OCH中，有∠COH＝60°，OC＝3，
∴OH＝，CH＝
∴，
∴S四边形OECD＝2S△OCG＝．

4、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．
（1）求CD的长．
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．
①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

【解析】（1）如图，作AE⊥BC于点E，

∵AB＝AC，∴BE＝BC＝2
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4
∵S△ABC＝BC•AE＝AB•CD，∴CD＝＝＝8
（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：

∵S△ABC＝AC•BF＝AB•CD，∵AB＝AC，∴BF＝CD
在Rt△CDP和Rt△BQF中，
∵CP＝BQ，CD＝BF
∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）
∴PD＝QF
在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10，∴AD＝＝6
同理可得AF＝6
∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，
QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t
由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0
∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；
当点Q在FC之间时，如图所示：

此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6，解得t＝4
综上得t的值为4．
②同①可知：
v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，
Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．
∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，
∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，
由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6，整理得v＝
∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC
∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6
所以v＝（2≤t＜6）．
5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，求证：AD＝2DC．
（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，

∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DC＝DE，
∵∠A＝30°，DE⊥AB，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2DC；
（2）如图2，过点M作ME∥BD，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵BM平分∠CBD，
∴∠CBM＝15°＝∠DBM，
∵ME∥BD，
∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，
∴ME＝BE，
∵∠MEC＝30°，∠C＝90°
∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，
∴BC＝+2，
∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，
∴BC＝CD，
∴CD＝1+，
∴DM＝，
∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；
（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，
理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
∵DN＝DW，且∠WDN＝60°，∴△WDN是等边三角形，
∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，
∴∠WNG＝∠BND，
在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，
∴AD＝DG+DN．
（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，
理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，

由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．
6、在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于F

探究：当AB＝AC且C，D两点重合时（如图1）探究
（1）线段BE与FD之间的数量关系，直接写出结果　 　；
（2）∠EBF＝　 　．
证明：当AB＝AC且C，D不重合时，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．
计算：当AB＝kAC时，如图，求的值（用含k的式子表示）．
探究：（1）延长BE，CA交于G，

∵∠EDB＝∠C，∴CE平分∠ACB，
∵BE⊥DE，∴∠BEC＝∠CEG＝90°，
∵CE＝CE，∴△BCE≌△GCE（ASA），∴BE＝EG＝BG，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABG＝∠ACF，
∵∠BAG＝∠CAF，AB＝AC，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG＝CF，
∴BE＝DF；
（2）∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠EDB＝∠C＝22.5°，又BE⊥DE，
∴∠EBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠EBF＝67.5°﹣45°＝22.5°，
证明：结论：BE＝FD，

证明：如图2，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，
则∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，
∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG，
又DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°，
∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE＝GE＝GB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，
∴△GBH≌△FDH（ASA），∴GB＝FD，∴BE＝FD；

计算：如图3，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，
同理可证△DEB≌△DEG，BE＝GB，∠BHD＝∠GHB＝90°，∠EBF＝∠HDF．
∴△GBH∽△FDH，∴，即，
又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴，即．∴．
7、在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．
（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2，求AB的长；
（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD＝BE；
（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．

【解析】（1）∵△ACE为等边三角形，
∴∠CAE＝∠ACB＝∠CEA＝60°，
∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝15°，
∴∠CBA＝∠CEA﹣∠BAE＝60°﹣15°＝45°，
过点A作AN⊥BC于点N，

∴△ABN为等腰直角三角形，
在等边△ACE中，AN＝sin60°•AE＝＝3，
∴AB＝AN＝3．

（2）证明：过点C作CM⊥AB于点M，设∠EAB＝α，

∵∠CAE+2∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣2α，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD＝2α，
∴∠CAB＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠ACM＝α，
∴CM平分∠ACD，
∴AM＝DM＝AD，AC＝CD＝AE，
在△ACM和△EAG中，，∴△ACM≌△EAG（AAS），∴EG＝AM，
∴AD＝2AM＝2EG，
∵AC＝AE，∠CAE＝90°﹣2α，
∴∠CEA＝45°+α，
又∵∠CEA＝∠B+∠EAG，
∴∠B＝45°，
∵EG⊥AB，
∴△EBG为等腰直角三角形，
∴BE＝EG＝AM＝AD．
∴AD＝BE．

（3）BF与EC之间的数量关系为．
过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，

设BD＝A，由（2）可知DE＝A，AD＝2A，AM＝DM＝A，
∵DE∥CM，BD＝DM，∴BE＝CE＝A，
∵DE＝A，AD＝2A，∠ADE＝90°，∴AE＝＝A，
∵CD⊥AE，DE⊥AB，
∴∠EFD＝∠ADE＝90°
∴∠EDF＝∠DAE，
∴△DEF∽△AED，∴，∴，∴EF＝A，
∴AF＝A﹣A＝A，
∴，∴．
∵FH∥DE，∴△AFH∽△AED，
∴，
∴FH＝A，
∴DH＝2A﹣A＝A，
∴BH＝A+A，
∴BF＝＝A．
∴．
即BF与EC之间的数量关系为．
8、已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，M），过B点作直线A与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．
（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且M＞2时，求点C的坐标；（用M的代数式表示）
（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：
（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当M＝3时，试求CE+EF的最小值．

【解析】（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，

∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BHA＝∠AOC＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ABH＝∠CAO，
∵点A（0，2），B（﹣2，M），
∴AO＝BH＝2，OH＝M，
∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，
∴△BHA≌△AOC（ASA）
∴CO＝AH＝OH﹣AO＝M﹣2，
∵M＞2，点C在x轴负半轴，∴点C（2﹣M，0）；
（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，

∵∠BAC＝90°，∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，∴∠CAK＝∠ABK，
∵点A（0，2），B（﹣2，M），∴AO＝BK＝2，OH＝M，
∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，
∴△ABK≌△CAO（AAS），∴CO＝AK＝2﹣M，
∵C点的坐标（x，0），∴CO＝x＝2﹣M，
∵点B是第三象限内的一个点，∴M＜0，∴2﹣M＞2，∴x＞2；
（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，

∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，
∴△BEF≌△BEN（SAS），∴EF＝EN，∴CE+EF＝CE+EN，
∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，
此时最小值为AC，
由（1）可知：点C（2﹣M，0）；且M＝3，
∴点C（﹣1，0），
∴CO＝1，
∴AC＝＝＝，
∴CE+EF的最小值为．

9、在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝　 　°，若△AMN的周长为9，则BC＝　 　．
（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；
（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．
【解析】（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，
同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，
∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，

（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，
∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，
同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，
∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；
（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，
∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，
在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，
在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS），∴BH＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．
10、已知平面直角坐标系中，点A在第一象限内，AB⊥x轴，垂足为点B，连接OA，OB+AB＝10，OB﹣AB＝2．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）点C为x轴上原点O右侧的一点，连接AC，设点C的横坐标为t（0＜t＜），△ABC的面积为S（S≠0），求S与t之间的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）如图2，在（2）的条件下，点C在点B的右侧，点D的坐标（0，t），过点A作AE⊥AC，交y轴于点E，点F在AE上，AF＝AC，连接DF，点G为DF的中点，连接AG，延长AG交y轴于点P，求点P的坐标．

【解析】（1）∵OB+AB＝10，OB﹣AB＝2，
∴解得：OB＝6，AB＝4，
∴点A 的坐标为（6，4）；
（2）①当0＜t＜6 时，BC＝OB﹣OC＝6﹣t，
∴S＝BC•AB＝（6﹣t）×4＝﹣2t+12；
②当6＜t＜ 时，BC＝OC﹣OB＝t﹣6，
∴S＝BC•AB＝（t﹣6）×4＝2t﹣12；
综上所述，S＝；
（3）延长AP至R使RG＝AG，连接DR，过点R作RS⊥x轴于点S，连接OR，如图2所示：
∵G为DF的中点，
∴DG＝FG，
在△AGF和△RGD中，，∴△AGF≌△RGD（SAS），∴RD＝AF，∠DRG＝∠FAG，
∴DR∥AE，
∴∠RDO＝∠DEA，
∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，
在四边形EOCA中，内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠AEO+∠ACO＝360°﹣∠EAC﹣∠EOC＝360°＝90°﹣90°＝180°，
又∵∠DEA+∠AEO＝180°，
∴∠DEA＝∠ACO，
∴∠RDO＝∠ACO，
∵AF＝AC，∴RD＝AC，
∵D（0，t），∴OD＝OC＝t，
在△ORD和△OAC中，，∴△ORD≌△OAC（SAS），∴∠ROD＝∠AOC，OR＝OA，
∵RS⊥x轴，∴RS∥y轴，
∴∠SRO＝∠ROD＝∠AOC，
在△RSO和△OBA中，，∴△RSO≌△OBA（AAS），∴RS＝OB＝6，SO＝AB＝4，
∵S梯形ABSR＝S梯形POSR+S梯形ABOP，
∴（ AB+RS ）•SB＝（PO+RS ）•OS+（ AB+PO）•OB，
即：×（4+6）×（4+6）＝（PO+6）×4+（4+PO）×6，解得：OP＝5.2，
∴点P的坐标为：（0，5.2）．

11、已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，
∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，
∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，
∴BE＝PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，
∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，
∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，
∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，
∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，
∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，
∴∠CDA＝∠A＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），
∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，
∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
12、在等边△ABC中，BD是AC边上的高，BE平分∠CBD交AC于点E．

（1）如图1，过点E作EK⊥AB于点K，若EK＝，求CE的长；
（2）如图2，在BC上取一点G，连接EG，且EG＝2DE．点F是△ABC外一点，连接AF，BF，∠FBE＝∠FAB＝60°，连接GF交EB于点H，求证：GF⊥BE．
（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴AB＝AC，∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE＝15°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝45°，
∵EK⊥AB，∴△BEK是等腰直角三角形，∴BK＝EK＝，
∵∠AEK＝90°﹣∠A＝30°，∴AK＝EK＝1，AE＝2AK＝2，
∴AC＝AB＝AK+BK＝1+，∴CE＝AC﹣AE＝﹣1；
（2）证明：∵∠FBE＝∠FAB＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABF＝∠CBE，∠FAE＝∠C，
在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴BF＝BE，
∵∠FAB＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BF＝EF，
作EM⊥BC于M，如图2所示：∵BE平分∠CBD，∴ME＝DE，

∵EG＝2DE，∴EG＝2ME，∴∠EGM＝30°，
∵∠EGM＝∠CBE+∠GEB，∴∠GEB＝30°﹣15°＝∠CBE，∴BG＝EG，
在△BFG和△EFG中，，∴△BFG≌△EFG（SSS），∴∠BGF＝∠EGF，
∵BG＝EG，∴GF⊥BE．