中考数学 专项训练 考点02 倍长中线模型构造全等三角形(能力)
展开专题02 倍长中线模型构造全等三角形
- 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．
（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
- 解：（1）如图，
（2）证明：如图，
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2 AD
在△ABE中，AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
（4）在△ABE中，
ABBE<AE<AB+BE
由（3）得 AE=2AD，BE=AC
∵AC=3，AB=5
∴53<AE<5+3
∴2<2AD<8
∴1<AD<4
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
- 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．
- 证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC=EB，∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
- 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．
求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
- 证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
[来源:学科网ZXXK]
- 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．
求证：∠AEF=∠EAF．
- 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中[来源:学科网ZXXK]
∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3[来源:Zxxk.Com]
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
- 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．
求证：AD为△ABC的角平分线．
- 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中
∴△CFE≌△BME（SAS）
∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线
- 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．
- 解：如图，延长AF交BC的延长线于点G
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EGCG
=52.7
=2.3
- 如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．
求证：EG=CG且EG⊥CG．
- 证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M
由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵点G为FD的中点
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中
∴△FGE≌△DGM（AAS）
∴EF=MD，EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中，BC=CD[来源:学科网]
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG
