中考数学 专项训练 考点55 一次函数中的构造等腰直角三角形

专题 55一次函数中的构造等腰直角三角形
1、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；
【解析】（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴B（0，4），∴OB＝4，
∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，过点M作MN⊥y轴，

∴△BMN≌△ABO（AAS），∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，过点M作x轴垂线MK，

∴△ABO≌△AMK（AAS），∴OB＝AK，OA＝MK，∴AK＝4，MK＝3，∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，

∴△BMG≌△AHM（AAS），∴BG＝AH，GM＝MH，∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，∴MH＝，∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）当k＞0时，AO＝，过点Q作QS⊥y轴，

∴△ABO≌△BQS（AAS），∴BS＝OA，SQ＝OB，
∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4；
∴当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，
∴OQ的最小值为4个
2、已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．

（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；
（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．
【解析】（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，
∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，
∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），
设点C（0，M），∴OC＝M，∴CB'＝CB＝8﹣M，
∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴M2+16＝（8﹣M）2，∴M＝3，∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+B（k≠0），
把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，B＝3，∴y＝﹣x+3；
（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，
∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，
过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，
∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，
∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，
∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，
设点D（A，A）代入y＝﹣x+3中，
∴A＝2，
∴D（2，2）；
（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，
∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE，
∴△PDF≌△QDE（AAS），
∴PF＝QE，
①当DQ＝DA时，

∵DE⊥x轴，
∴QE＝AE＝4，
∴PF＝QE＝4，
∴BP＝BF﹣PF＝2，
∴点P运动时间为1秒；
②当AQ＝AD时，

∵A（6，0）、D（2，2），
∴AD＝2，
∴AQ＝2，
∴PF＝QE＝2﹣4，
∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，
∴点P的运动时间为5﹣秒；
③当QD＝QA时，

设QE＝n，
则QD＝QA＝4﹣n，
在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，
∴4+n2＝（4﹣n）2，
∴n＝1.5，
∴PF＝QE＝1.5，
∴BP＝BF+PF＝7.5，
∴点P的运动时间为3.75秒，
∵0≤t≤4，
∴t＝3.75，
综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或3.75秒．


3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．
（1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”；
（2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”．
①求y与x的函数关系式；
②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标．

【解析】（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3，∴点B是A、C的“美妙点”；
（2）设点D（M，M+2），
①∵M是点D、E的“美妙点”．
∴x＝3（3+M）＝9+3M，y＝3（0+M+2）＝M+6，
故M＝x﹣3，∴y＝（x﹣3）+6＝x+3；
②由①得，点M（9+3M，M+6），
如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4），
∴9+3M＝3，解得：M＝﹣2；∴点D（﹣2，）；

当∠MFE是直角时，如图2，则9+3M＝M，解得：M＝﹣，∴点D（﹣，）
当∠EMF是直角时，不存在
综上，点D（﹣2，）或（﹣，）

4、如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．

【解析】（1）将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6并解得：k＝﹣3；
（2）一次函数y＝﹣3x+6分别与x轴，y轴相交于B，C两点，
则点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；
（i）S△BCO＝OB×CO＝2×6＝6，
直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，
则S△CDE＝2或4，
而S△CDE＝×CD×xE＝4×xE＝2或4，
则xE＝1或2，
故点E（1，3）或（2，0），
将点E的坐标代入直线l表达式并解得：
直线l的表达式为：y＝±x+2；
（ⅱ）设点E（M，﹣3M+6），而点A、D的坐标分别为：（1，3）、（0，2），
则AE2＝（M﹣1）2+（3﹣3M）2，AD2＝2，ED2＝M2+（4﹣3M）2，
当AE＝AD时，（M﹣1）2+（3﹣3M）2＝2，解得：M＝或；
当AE＝ED时，同理可得：M＝；
综上，点E的坐标为：（，）或（，）或（，）．

5、建立模型：
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E．则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”．它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用．
模型应用：
（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），△ABC是等腰直角三角形．
①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；
②若AB为直角边，求点C的坐标；
（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标．

【解析】（1）①过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°＝∠AOB，
∴∠BCD+∠DCB＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠DBC＝90°，
∴∠ABO＝BCD，
∵AB＝BC，∴△AOB≌△BDC（AAS），

DC＝OB＝3，BD＝OA＝4，故点C（7，3）；
②若AB为直角边，则除了①的情况以外，另外一个点C（C′）与①中的C关于点B对称，
故点C′（﹣1，﹣3）；
故点C的坐标为：（7，3）或（﹣1，﹣3）；
（2）如图2，当∠MGP＝90°时，MG＝PG，

过点P作PE⊥OM于E，过点G作GH⊥PE于H，
∴点E与点M重合，∴GF＝AB＝4
设G点坐标为（x，2x﹣6），6﹣（2x﹣6）＝4，得x＝4，
易得G点坐标（4，2）；
如图3，当∠MGP＝90°时，MG＝PG时，同理得G点坐标（，），

综上可知，满足条件的点G的坐标分别为（4，2）或（，）

6、如图1，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知点C（﹣2，0）．
（1）求出点A，点B的坐标．
（2）P是直线AB上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标．
（3）如图2，平移直线l，分别交x轴，y轴于交于点A1B1，过点C作平行于y轴的直线M，在直线M上是否存在点Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．

【解析】（1）设y＝0，则x+2＝0，解得：x＝﹣4，
设x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标的坐标为（0，2）；
（2）∵点C（﹣2，0），点B（0，2），∴OC＝2，OB＝2，
∵P是直线AB上一动点，∴设P（M，M+2），
∵△BOP和△COP的面积相等，
∴×2|M|＝2×（|M|+2），解得：M＝±4，当M＝﹣4时，点P与点A重合，
∴点P坐标为（4，4）；
（3）存在；
理由：如图1，

①当点B1是直角顶点时，∴B1Q＝B1A1，
∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，∴∠OA1B1＝∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，
∴B1（0，﹣2）或（0，2），
当点B1（0，﹣2）时，Q（﹣2，2），
当点B1（0，2）时，
∵B（0，2），∴点B1（0，2）（不合题意舍去），
∴直线AB向下平移4个单位，∴点Q也向上平移4个单位，∴Q（﹣2，2），
②当点A1是直角顶点时，A1B1＝A1Q，


∵直线AB的解析式为y＝x+2，
由平移知，直线A1B1的解析式为y＝x+B，
∴A1（﹣2B，0），B1（0，B），∴A1B12＝4B2+B2＝5B2，
∵A1B1⊥A1Q，∴直线A1Q的解析式为y＝﹣2x﹣4B，
∴Q（﹣2，4﹣4B），
∴A1Q2＝（﹣2B+2）2+（4﹣4B）2＝20B2+40B+20，
∴20B2﹣40B+20＝5B2，
∴B＝2或B＝，∴Q（﹣2，﹣4）或（﹣2，）；
③当Q是直角顶点时，过Q作QH⊥y轴于H，

∴A1Q＝B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，
∴∠QA1C＝∠CQB1，
∵M∥y轴，∴∠CQB1＝∠QB1H，∴∠QA1C＝∠QB1H
在△A1QC与△B1QH中，，∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，
∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
即：满足条件的点Q为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）或（﹣2，）．

7、如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）
【模型应用】若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当k＝﹣1时，若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求点A到直线l的距离AD的长；
（2）如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接OQ，求OQ长的最小值．

【解析】（1）由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，
∴B（0，4），∴OB＝4，
∵BE＝3，∴OE＝，∴AD＝；
（2）k＝﹣时，y＝﹣x+4，
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
过点M作MN⊥y轴，

∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，∴M（4，7）；
②当AB⊥AM，且AM＝AB时，
过点M作x轴垂线MK，

∴△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，

∴△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
（3）当k＞0时，AO＝，
过点Q作QS⊥y轴，

∴△ABO≌△BQS（AAS），∴BS＝OA，SQ＝OB，
∴Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4；
当k＜0时，Q（4，4﹣），∴OQ＝，
∴当k＝1时，QO最小值为4，与k＜0矛盾，∴OQ的最小值为4．

8、【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．

证明：【模型建立】
（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，且CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）

【模型运用】
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E

∵直线y＝x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+B，得 解得
∴直线l2的函数表达式为：
【模型迁移】
（3）若点P在x轴正半轴，如图3，过点B作BE⊥OC，


∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，
∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB
∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
9、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+B与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C（M，0）在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求M和B的数量关系；
（2）当M＝1时，如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点B′的坐标及△BCD平移的距离；
（3）在（2）的条件下，直线AB上是否存在一点P，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，写出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）直线y＝﹣x+B与y轴相交于B点，
∴B（0，B）
∴OB＝B，
∵点C（M，0）
∴OC＝M
∵∠BCO+∠ECD＝90°，∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD．
在△OBC和△ECD中，
∴△OBC≌△ECD（AAS）
∴BO＝CE＝B，DE＝OC＝M，
∴点D（B+M，M）
∴M＝﹣（B+M）+B
∴B＝3M
（2）∵M＝1，
∴B＝3，点C（1，0），点D（4，1）
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3
设直线BC解析式为：y＝Ax+3，且过（1，0）
∴0＝A+3
∴A＝﹣3
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，
设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+c，把D（4，1）代入得到c＝13，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，
当y＝3时，x＝
当y＝0时，x＝
∴B′（，3），C'（，0）
∴CC′＝，
∴△BCD平移的距离是个单位．
（3）当∠PCD＝90°，PC＝CD时，点P与点B重合，∴点P（0，3）
如图，当∠CPD＝90°，PC＝PD时，

∵BC＝CD，∠BCD＝90°，∠CPD＝90°
∴BP＝PD
∴点P是BD的中点，且点B（0，3），点D（4，1）
∴点P（2，2）
综上所述，点P为（0，3）或（2，2）时，以P、C、D为顶点的三角形是等腰直角三角形．

10、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求△AOB的面积：
（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．
（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．
【解析】（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
∴点B（7，0），﹣x+7＝x，∴x＝3，∴点A（3，4）
∴S△AOB＝×7×4＝14；
（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，

∴此时AC+BC最小值为AH，
∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，
∴AC+BC最小值为2，
设直线AH解析式为：y＝kx+B，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），
∴，解得：，∴直线AH解析式为：y＝x+
（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，

∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，
∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），
∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，
∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，
若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，
∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），
若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，
∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，
∴BE＝＝QE，∴OE＝，∴点Q（，），
如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，

∴BF＝FQ＝BQ，
∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，
∴PF＝BF，∴PB＝BF，
∴7﹣BQ＝，∴BQ＝，∴BE＝QE＝，
∴点Q坐标为（7﹣，）．

11、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．

（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为　 　；
（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；
（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，
∴点A坐标（4，0），点C（4，4），∴直线OC解析式为：y＝x，
∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），
∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，∴ 解得：
∴点E坐标（，），∴△AOE的面积＝×4×＝，
（2）如图2，过点E作EH⊥OA，

∵将△AOD沿AD翻折得△AED，∴AO＝AE＝4，
设点E（A，A），
∴OH＝A，EH＝A，∴AH＝4﹣A，
∵AE2＝EH2+AH2，∴16＝A2+（4﹣A）2，∴A＝0（舍去），A＝，
∴点E（，）
（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，
∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，∴∠CAE＝60°，
∵AE＝AC，AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）
∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，∴CF＝，
∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，
∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，

∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，
∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴△QNF≌△FCA（AAS）
∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，
∴点Q（，4+），同理可求：Q'（8+，4﹣），
若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，
同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）