中考数学 专项训练 考点52 巧用图形的旋转解决几何问题

专题52 巧用图形的旋转解决几何问题
【模型展示】




【精典例题】
1、如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝_________．

【解析】思路如下：
设BE＝x．
由△ABE∽△ECM，得，即．
等腰三角形AEM分三种情况讨论：
①如图2，如果AE＝AM，那么△AEM∽△ABC．
所以．解得x＝0，此时E、B重合，舍去．
②如图3，当EA＝EM时，．解得x＝1．
③如图4，当MA＝ME时，△MEA∽△ABC．所以．解得x＝．

图2 图3 图4

2、如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）．


A． B． C．5 D．6
【解析】思路如下：
拖动点E在AB上运动，可以体验到，当EF与AC垂直时，四边形EGFH是菱形（如图2）．
如图3，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝4，所以AC＝．
由cos∠BAC＝，得．所以AE＝5．

图2 图3
3、如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，连接AF，则AF= ．




【解析】思路如下：
如图，作FH⊥AC于H．
由于F是ED的中点，所以HF是△ECD的中位线，所以HF＝3．
由于AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以AH＝4．所以AF＝5．

4．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为　 　，BH与AE的数量关系为　 　；
问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．

【解析】问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．

理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，
在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，
∴CD＝＝4，
∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，
∴＝＝2，∴AE＝2BH．
故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．
问题证明：如图2中，（1）中结论成立．

理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．
∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，
∴△CHF≌△DHB（SAS），
∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，
∴CF∥BD，
∵AB＝BC，BE＝BD，
∴BE＝CF，
∴＝＝，
∵CF∥BD，
∴∠BCF+∠CBD＝180°，
∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，
∴AE＝BF＝2BH，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴BH⊥AE．
拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．

∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠BFD＝90°，
由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，
∵•BD•BE＝•DE•BF，
∴BF＝＝3，
∴EF＝BF＝3，
∴AF＝6+3，
∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．
∵AE＝2BH，
∴AE2＝12BH2，
∴BH2＝12+3
如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，

∴BH2＝＝（＝12﹣3．

5．已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．
（1）如图，旋转中心是　 　，∠DAE＝　 　°；
（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了　 　度；
（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为　 　．

【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；
（2）∵AB和AC为对应边，
∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，
∴∠MAM′＝60°，∴点M转动了60°；
（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴△ABD≌△ACE，
∵BD＝BC，或BD＝BC，∴CD＝2BD，或CD＝BD，
∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，
∴S四边形ADCE＝S△ABC＝9或．

6．如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．
（1）求证：PA＝PB；
（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．
（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？

（1）证明：如图①中，连接OP．

∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA＝PB．

（2）如图②中，

∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠CPD+∠AOB＝180°，∴∠CPD＝∠APB，∴∠APC＝∠BPD，
∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，∴△PAC≌△PBD（ASA），∴AC＝BD，
∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，∴OA＝6.5．
（3）设点P的旋转时间为t秒．
①当0＜t＜12时，不存在．
②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，

当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣120＝2t，t＝15．
③当21≤t＜30时，如图3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH＝2t，

当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时300﹣10t＝2t，t＝25．
④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，

当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣300＝2t，t＝37.5，
综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．
7．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想： 图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）探究证明： 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸： 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【解析】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，
∴MN最大＝2+5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．
8．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

【解析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．

（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．

（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．

②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．

同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
9．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现
当α＝0°时，＝　 　；β＝　 　°．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

【解析】（1）如图1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，
（2）结论：和β的大小无变化．
理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．

∵AE＝AD，AC＝AB，∴＝＝，∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小无变化．
（3）当点E在线段AB上时，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，
当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．
综上所述，△BCE的面积为8﹣4或8+4．
10．如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　 　．（回答直接写序号）
①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

（1）解：如图甲：

①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．
②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．
④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．
故答案为①②③．
（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．

∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．
∴＝，∴＝，
∴PB＝．

b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．


∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，
∴＝，∴＝，
∴PB＝．
综上，PB＝或．
②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．
综上所述，PB长的最大值是3+3．
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝4，
∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3﹣3．
11．如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．
（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；
（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是　 　．

【解析】（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．

理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD＝CE．

（2）如图2中，

由题意：∠CAE＝45°，
∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．
∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．
∵△ABC的面积为4.5，
∴△CBE的面积4.5．

（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．

∵AM＝MN，CM＝MD，∴四边形ADNC是平行四边形，∴AD＝CN＝1，
∵AC＝3，
∴3﹣1≤AN≤3+1，
∴2≤2AM≤4，
∴1≤AM≤2，
∴AM的最小值为1．
12．综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．
解决问题
（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；
探索发现
（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；
（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）

【解析】（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；

（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．

（3）如图③中，作CH⊥AD于H．∴AC＝CD＝AB＝2，
∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，
∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，
∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，
∴BD＝＝＝2．
（4）如图①中，设DE交BC于T．
因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，
由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．