中考数学 专项训练 考点53 巧用图形的平移解决几何问题

专题53 巧用图形的平移解决几何问题

阅读理解：在平面直角坐标系内，如果把一个点的横坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向右（或向左）平移k个单位长度；反之如果把一个点向右（或向左）平移k个单位长度，就是把这个点的横坐标都加（或减去）一个正数k．

在平面直角坐标系内，如果把一个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k，就是把这个点向上（或向下）平移k个单位长度；反之如果把一个点向上（或向下）平移k个单位长度；就是把这个点的纵坐标都加（或减去）一个正数k．

【典例18】应用探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是　   　；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是　   　；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是　   　．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对等边三角形ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到等边三角形△A′B′C′及其内部的点，其中点A（﹣3，0），B（3，0）的对应点分别为A′（﹣1，2），B′（2，2）．已知等边三角形ABC内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F坐标

【解析】（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，

设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；

（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），

∵对应点F′与点F重合，∴x+＝x，y+2＝y，解得x＝1，y＝4，所以，点F的坐标为（1，4）

【巩固提升】

1、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．

(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；

(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．

【分析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．

【解析】(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°，∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．

如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,

∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,

由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.

∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;

(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．

∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=BC．

又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=BC=AC.∴△ADC为正三角形．

①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.

∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF为矩形．

②当α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．

显然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,

∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.

∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,

∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．

又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF为等腰梯形．

2、如图，点C、M、N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．

（1）试说明AD∥BC的理由；

（2）试求∠CAN的度数；

（3）平移线段BC．

①试问∠AMD：∠ACD的值是否发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律；

②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．

【解析】（1）∵AP∥DQ，∴∠D+∠DAB＝180°．

∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．

∵∠ABC＝80°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；

（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD＝∠DAM．

∵∠1＝∠2，∴∠CAM＝∠BAM．∴∠NAM+∠CAM＝∠DAM+∠BAM，

即：∠CAN＝∠DAB

∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°，

（3）①不会．

∵AP∥DQ，

∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，

∴∠AMD：∠ACD＝2，

②∵AP∥DQ，AD∥BC，

∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，

∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，

∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，

即：∠1＝∠DAN．

∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，

∴∠ACB＝∠DAC＝75°．

3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．

（1）在图中画出△A′B′C′；

（2）直接写出A′、C′点的坐标；

（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．

【解析】（1）△A′B′C′如图：

（2）∵平移后点B和点A刚好重合，

∴平移后，对应点的横坐标增加3，纵坐标减小1，

又∵顶点A的坐标是（1，3），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），

∴A′、C′点的坐标分别为（4，2），（1，﹣2）；

（3）∵P点的坐标是（a，b），

∴平移后的对应点P′的坐标是（a+3，b﹣1）．

4、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）

（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为　   　；

（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为　   　；

（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为　   　；△A2B2C2的面积为　   　．

【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1坐标为（1，﹣4）；

故答案为：（1，﹣4）；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（2，2）；

故答案为：（2，2）；

（3）点P（a，b）沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移4个单位长度后，对应点的坐标为（a+3，b+4），△A2B2C2的面积为．

故答案为：（a+3，b+4），．

5、如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：AB与CD的关系为　   　∠B与∠D的大小关系为　   　；

（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．

（3）在（2）中，若∠FDG＝α，其它条件不变，则∠B＝　   　．

【解析】（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；

（2）∵AB∥CD，

∴∠DCE＝∠B，

由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，

∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，

在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，

在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∵DG平分∠CDE，

∴∠CDG＝∠EDG，

∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠FDG＝∠DCE，

即∠FDG＝∠B，

∵∠B＝60°，

∴∠FDG＝×60°＝30°；

（3）思路同（2），

∵∠FDG＝α，

∴∠B＝2α，

故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）2α．

6、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．

（1）求∠AEC的度数；

（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．

（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．

【解析】（1）如图1所示：

∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，

∴∠ADC＝∠QAD＝30°，

∴∠PAD＝150°，

∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，

∴∠PAE＝75°，

∴∠CAE＝25°，

可得∠PAC＝∠ACN＝50°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECA＝25°，

∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；

（2）如图2所示：

∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1＝30°，

∴∠PA1D1＝150°，

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，

∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，

∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE＝25°，

∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；

（3）如图3所示：

过点E作FE∥PQ，

∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1＝30°，

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠QA1E＝∠2＝15°，

∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，

∴∠ACN＝50°，

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，

∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．