中考数学 专项训练 考点03 一线三垂直模型构造全等三角形

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形

【专题说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）

常见的两种图形：

         图1                                      图2

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

当α=45°时，求△EAD的面积.

当α=30°时，求△EAD的面积

当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

解析：

∵AD∥BC,DG⊥BC

∴∠GDF=90°

又∵∠EDC=90°

∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中

∠DGC=∠DFE

∠1=∠2

CD=DE

∴△DCG≌△DEF

∴EF=CG

∵AD∥BC,AB⊥BC,

AD=2，BC=3

∴BG=AD=2

∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关

2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP

解析：过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N

∵四边形ACFG是正方形

∴AC=AG,∠CAG=90°

∴∠CAH+∠ACH=90°

∴∠ACH=∠GAM

在△ACH和△GAM中

∠AHC=∠GMA

∠ACH=∠GAM

AC=GA

∴△ACH≌△GAM

∴CH=AM,AH=GM

同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP

∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.

解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE

∴∠BDA=∠AEC=90°

∴∠ABD+∠BAD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠EAC=90°[来源:学科网ZXXK]

∴∠ABD=∠EAC

在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

∠ABD=∠EAC

AB=CA

∴△ABD≌△CAE(AAS)

AD=CE,BD=AE

∵AE=AD+DE

∴BD=DE+CE

（2）在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

AB=CA

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AD=CE,BD=AE[来源:学科网]

∵AE=DE-AD

∴BD=DE-CE.

4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（  ）

解析:

∵AD是△ABC的高

∴∠ADB=90°[来源:Zxxk.Com]

∵∠ABC=45°

∴∠BAD=45°

∴∠ABC=∠BAD

∴AD=BD

∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD

∴∠AFE=∠C

在△BDF和△ADC中

∠CAD=∠FBD

AD=BD

∠BDF=∠ADC

∴△BDF≌△ADC（ASA）

∴DF=CD=4

∴AD=AF+DF=2+4=6=BD

∴BC=BD+CD=6+4=10[来源:学科网]

5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（  ）

解析：

∵ABCD是正方形

∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°

∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE

∴∠ABF=∠DAE

在△AFB和△AED中

∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD

∴△AFB≌△AED

∴AF=DE=4，BF=AE=3

∴EF=AF+AE=4+3=7

6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（  ）

解析：

∵矩形ABCD中，EF⊥EC,

∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°

∴∠AEF=∠DCE,

又∵EF=EC

∴△AEF≌△DCE（AAS）

∴AE=CD

∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，

∴CD+AD=8

∴AD-2+AD=8

AD=5

∴AE=AD-DE=5-2=3.

7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.[来源:学|科|网]

解析：

延长CE、BA相交于点F.

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°

∴∠EBF=∠ACF.

又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

在△BCE和△BFE中

∠EBF=∠CBE

BE=BE

∠CEB=∠FEB

∴△BCE≌△BFE(ASA)

∴CE=EF

∴CE=CF=BD