中考数学 专项训练 考点05 手拉手模型构造全等三角形(能力)

专题05 手拉手模型构造全等三角形

1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．

（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；

（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．

解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，

∴AC＝BC＝4，AB＝AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，

∵AB＝2BD，

∴AD＝BD＝2，

∴BE＝2，

∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，

∴CE＝＝＝2，

∵点F是CE的中点，

∴BF＝CE＝；

（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，

∵点M是AD中点，

∴AM＝MD，

又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME，

∴△AMN≌△DME（SAS），

∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE，[来源:学#科#网]

∴AN∥DE，

∴∠NAH+∠DHA＝180°，

∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°+∠DBH，

∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°，

∴∠NAC+∠DBH＝90°，

∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°，

∴∠CBE+∠DBH＝90°，

∴∠CBE＝∠NAC，

又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE，

∴△ACN≌△BCE（SAS），

∴∠ACN＝∠BCE，

∵∠BCE+∠ACE＝90°，

∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE，

∴CN⊥CE．

2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．

（1）求BC的长；

（2）求证∠ABE＝∠ABC；

（3）当FB＝FE时，求CD的长．

解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝BC，

∵tan∠ACB＝＝，

∴设AH＝3k（k＞0），CH＝4k，

∵AC2＝AH2+CH2，

∴9k2+16k2＝25，

∴k＝1，

∴HC＝4，

∴BC＝2CH＝8；

（2）∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAE，

∵将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，

∴AE＝AD，

又∵AB＝AC，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

∴∠ABE＝∠ACD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACD，

∴∠ABE＝∠ABC；

（3）∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE，

又∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠BEF＝∠DAF，

∵FB＝FE，

∴∠FBE＝∠FEB，

∴∠DAF＝∠ADF＝∠FBE＝∠FEB，

∴∠DAF＝∠ABC＝∠ACB，[来源:学.科.网]

又∵∠ABC＝∠ABD，

∴△BAD∽△BCA，

∴

∴BD＝＝，

∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝．

3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．

（1）求证：△BCD≌△ACE；

（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；

（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．

解：（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACE，

又∵AC＝BC，

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB，

∴∠EAD＝90°，

∴，

∴．

∴；

（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴CG＝AB，即＝，

∵点F为AD的中点，

∴FA＝AD，

∴FG＝AG﹣AF

＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，

由（1）可得：BD＝AE，

∴FG＝AE，即＝，

∴＝，

又∵∠CGF＝∠BAE＝90°，

∴△CGF∽△BAE，

∴∠FCG＝∠ABE，

∵∠FCG+∠CFG＝90°，

∴∠ABE+∠CFG＝90°，

∴CF⊥BE．

4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．

（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；

（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．

解：（1）结论：BE＝2CF，BE⊥CF．

理由：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝90°，

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE＝AD，∠EBC＝∠DAC，

∵F为线段AD的中点，

∴CF＝AF＝DF＝AD

∴BE＝2CF；

∵AF＝CF，

∴∠DAC＝∠FCA，

∵∠BCF+∠ACF＝90°，

∴∠BCF+∠EBC＝90°，

即BE⊥CF；

（2）旋转一个锐角后，（1）中的关系依然成立．

证明：如图2，延长CF到M，使FM＝FC，连接AM，DM，

又AF＝DF，

∴四边形AMDC为平行四边形

∴AM＝CD＝CE，∠MAC＝180°﹣∠ACD，[来源:Z。xx。k.Com]

∠BCE＝∠BCA+∠DCE﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，

即∠MAC＝∠BCE，

在△MAC和△ECB中，

，

∴△MAC≌△ECB（SAS），[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:Zxxk.Com]

∴CM＝BE；∠ACM＝∠CBE，

∴BE＝CM＝2CF，

∴∠CBE+∠BCM＝∠ACM+∠BCM＝90°，

即BE⊥CF．

5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．

（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；

（2）填空：①当旋转角α的度数为　   　时，则DB'∥AE；

②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为　   　．

解：（1）DB'＝EC'，

理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，

∴AD＝AE，

由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，

∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE

∴△ADB'≌△AEC'（SAS），

∴DB′＝EC′，

（2）①当DB′∥AE时，∠B'DA＝∠DAE＝90°，

又∵AD＝AB'，

∴∠AB'D＝30°，

∴∠DAB'＝60°，

∴旋转角α＝60°，

故答案为60°，

②如图3，当点B'，D，E在一条直线上，

∵AD＝，

∴AB'＝2，

∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，

∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，

由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，

∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，

∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，

∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，

∴B'C'2＝B'E2+C'E2，

∴16＝（2+EC'）2+C'E2，

∴CE＝﹣1，

故答案为：﹣1．

6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．

（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；

（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是　   　（直接写出结论，不必证明）

（1）证明：作∠OCG＝60°，交OA于G，如图1所示：

∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，

∴∠CON＝∠COG＝60°，

∴∠OCG＝∠COG，

∴OC＝CG，

∴△OCG是等边三角形，

∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，

∵∠MCN＝∠OCG＝60°，

∴∠OCN＝∠GCM，

在△OCN和△GCM中，，

∴△OCN≌△GCM（ASA），

∴ON＝GM，

∵OG＝OM+GM，

∴OC＝OM+ON；

（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：

作∠OCG＝60°，交OA于G，如图2所示：

∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，

∴∠CON＝∠COG＝60°，

∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，

∴OC＝CG，

∴△OCG是等边三角形，

∴OC＝OG，∠CGO＝60°，

∴∠CGM＝120°＝∠CON，

∵∠MCN＝∠OCG＝60°，

∴∠OCN＝∠GCM，

在△OCN和△GCM中，，

∴△OCN≌△GCM（ASA），

∴ON＝GM，

∵OG＝OM﹣GM，

∴OC＝OM﹣ON；

故答案为：OC＝OM﹣ON