2-4-2等比数列的基本性质及其应用）

备课资料

备用例题

1.已知无穷数列,, ,…, ,….

求证：(1)这个数列成等比数列；

(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.

证明：(1) (常数)，∴该数列成等比数列.

(2),即：.

(3)apaq=，∵p,q∈N，∴p+q≥2.

∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈ (第p+q-1项).

2.设a,b,c,d均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,

求证：a,b,c成等比数列且公比为d.

证法一：关于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有实根，

∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.

则必有：b2-ac=0，即b2=ac，∴a,b,c成等比数列.

设公比为q，则b=aq,c=aq2代入

(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.

∵(q2+1)a2≠0，∴d2-2qd+q2=0，即d=q≠0.

证法二：∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,

∴(a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0.

∴(ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b，且bd=c.

∵a,b,c,d非零，∴d.∴a,b,c成等比数列且公比为d.