- 2-2-2等差数列通项公式） 其他 0 次下载
- 2-3-1等差数列的前n项和(一)） 其他 0 次下载
- 2-4-1等比数列的概念及通项公式） 其他 0 次下载
- 2-4-2等比数列的基本性质及其应用） 其他 0 次下载
- 2-5-1等比数列前n项和公式的推导与应用） 其他 0 次下载
2-3-2等差数列的前n项和(二)）
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等差数列的几个性质
等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.
【性质1】 已知等差数列{an}，m、p、q∈N*，若存在实数λ使 (λ≠-1),
则.
证明：由等差数列{an}的通项公式an=dn+a1-d的几何意义：点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线，由斜率公式得，因为，所以.
所以λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即.
评析：特别地,当λ=1时，2am=ap+aq，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式.
【性质2】 等差数列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,若.
则.
证明：设等差数列{an}的公差为d.根据ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k,
则.所以
推论：等差数列{an}，n i，m∈N *，i=1,2,3,…,k,若.则.
评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.
【性质3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.n，m∈N*,
则.
证明:因为
=
=
=
=
=
=
所以.
评析：实质上数列是公差为的等差数列.
【性质4】 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.n，m∈N *,则S m+n=Sm+Sn+mnd.
证明：因为Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m)
=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd)
=Sn+(a1+a2+…+am)+mnd
=Sm+Sn+mnd，
所以Sm+n=Sm+Sn+mnd.
【性质5】 等差数列{an}前n项和为Sn，若m=p+q(m、p、q∈N*且p≠q),
则有.
证明：设等差数列{an}的公差为d.
因为Sp-Sq=pa1+p(p-1)d-qa1- q(q-1)d=(p-q)［a1+(p+q-1)d］，
所以.又因为且m=p+q，
所以有.
推论：等差数列{an}前n项和为Sn，若m+t=p+q(m、t、p、q∈N*且m≠t,p≠q),则.
【性质6】 等差数列{an}前n项和为Sn.
(1)当n=2k(k∈N*)时，S2k=k(a k+ak+1);
(2)当n=2k-1(k∈N*)时，S2k-1=kak.
