高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离优秀同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离优秀同步达标检测题，共10页。

一、选择题


1．（2020全国高二课时练）如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点与的中点的距离为（ ）





A． B． C． D．


【答案】B


【解析】由图易知，则，


∴.


2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外的点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )


A.10B.3C.83D.103


【答案】D


【解析】由题意可知PA=(1,2,-4).设点P到平面α的距离为h,则h=|PA·n||n|=|-2-4-4|4+4+1=103.


3．（2020山东潍坊高二期末）已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC


的距离为（ ）


A．B．1C．D．2


【答案】A


【解析】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），


∴点A到直线BC的距离为：d＝||＝1×＝．


4.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )


A.6a6B.3a6C.3a4D.6a3





【答案】A


【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),Ma,0,a2,B(a,a,0),A1(a,0,a),


∴DM=a,0,a2,DB=(a,a,0),DA1=(a,0,a).


设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则n·DM=0,n·DB=0,即ax+a2z=0,ax+ay=0,


令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD的距离d=|DA1·n||n|=|a-2a|6=66a.


5．（多选题）（2020福建省高二期末）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是( )


A．平面B．平面


C．D．点与点到平面的距离相等


【答案】AC


【解析】对A,因为,分别是和的中点故,故平面成立.


对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立. 对C,同B空间直角坐标系有,


.故成立.


对D,点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上,故点不在平面上.故D不成立.故选AC





6．（多选题）（2020江苏常熟高二期中）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）





A．与平面所成的最大角为


B．存在某个位置，使得


C．当二面角的大小为时，


D．存在某个位置，使得到平面的距离为


【答案】BC


【解析】如图所示：





对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；对B，当时，取CD的中点N，可得所以平面PBN，所以，故B正确；对C，当二面角的大小为时，所以，所以，所以，故C正确；对D，因为，所以如果到平面的距离为，则平面PCD，则，所以，显然不可能，故D错误；故选：BC.


二、填空题


7．（2020浙江省高二期中）空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是______，______.


【答案】；


【解析】①空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标和竖坐标分别与的纵坐标和竖坐标互为相反数即；


②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得.


故答案为：①；②


8.（2020全国高二课时练）Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是_____.


【答案】3


【解析】以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.





则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以=(-4，3，0)，.


所以点到的距离.


9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为 .





【答案】83


【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,





则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).


∴EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),∴EF=MN,BF=AM,


∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M.∴平面AMN∥平面EFBD.


设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,则n·MN=2x+2y=0,n·AM=-2x+4z=0,解得x=2z,y=-2z.


取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).


平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.


∵AB=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=|n·AB||n|=83.


10．（2020山东泰安一中高二月考）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围为 .





【答案】


【解析】以分别为建立空间直角坐标系，则，.,,由平面，则且


所以且得，.


所以，当时，，当或时，，所以





三、解答题


11.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED的距离,并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.


【解析】以A为原点,AB所在直线为x轴,△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,





则F为CD的中点,A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,23,0),C(2,23,0),D(-2,23,0),P(0,0,4),E(0,0,2).


设平面BED的一个法向量为n=(x,y,z),


由BE=(-4,0,2),DE=(2,-23,2),


得n·BE=0,n·DE=0,∴-4x+2z=0,2x-23y+2z=0,即x=z2,y=3z2,


取z=2,则x=1,y=3,得n=(1,3,2).


∵PC=(2,23,-4),∴n·PC=2+6-8=0,


∴n⊥PC,故PC∥平面BED,


∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.


∵EP=(0,0,2),∴点P到平面BED的距离d=|EP·n||n|=41+3+4=2,


即PC到平面BED的距离为2,且直线PC上各点到平面BED的距离都相等.


12. （2019•全国高考新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，


∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．


（1）证明：MN∥平面C1DE；


（2）求点C到平面C1DE的距离．





【解析】解法一：


证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，





ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D，


由题设知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，


∴四边形MNDE是平行四边形，MN∥ED，


又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．


解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，


∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，


∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，


由已知可得CE＝1，CC1＝4，


∴C1E＝，故CH＝，


∴点C到平面C1DE的距离为．


解法二：


证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，


AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．


∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，


以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，


M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），


＝（0，﹣，0），＝（﹣1，），＝（0，），


设平面C1DE的法向量＝（x，y，z），


则，取z＝1，得＝（4，0，1），


∵•＝0，MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．


解：（2）C（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），平面C1DE的法向量＝（4，0，1），


∴点C到平面C1DE的距离：d＝＝＝．