人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离优质学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离优质学案，共16页。学案主要包含了知识梳理，小试牛刀等内容，欢迎下载使用。




1.理解图形与图形之间的距离的概念.


2.理解并掌握两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离.





重点：理解空间中距离的概念


难点：掌握空间距离的计算方法





一、知识梳理


1.空间中两点之间的距离:


（1）空间中两点之间的距离指的人是这两个点连线的线段长。


（2）设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,


则d=|AB|=AB·AB =(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2


2.点到直线的距离


n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离


d=|AP|2-|AP·n0|2 .





3.点到平面的距离


一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=|BA·n||n|.


(1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,


则直线l与平面α之间的距离为


(2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=|BA·n||n|.


4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离d=|BA·n||n|.


点睛： 解决立体几何问题的三种方法


1.综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题.


2.向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题.


3.坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题.


二、小试牛刀


1.若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为( )


A.43 B.23 C.42 D.32


2.判断


直线l外一点A到直线l的距离就是在直线l上任取一点B,点A与点B之间线段的长度.( )


3.判断


平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量AB的长度.( )


4.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( )


A.10 B.3 C.83 D.103


5.判断


(1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.( )


(2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.( )


6.已知平面α∥平面β,直线l⊂α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题:


①β内有且仅有一条直线与l的距离为d;


②β 内所有的直线与l的距离都等于d;


③β内有无数条直线与l的距离为d;


④β内所有直线与α的距离都等于d.


其中真命题是( )


A.①B.②C.①④D.③④








一、情境导学


“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平面内的“距离” ，这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有什么性质吗？








二、典例解析


例1 已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,


求点B,D之间的距离.











延伸探究 若将例1中条件“使平面ABC与平面ADC垂直”变为“使平面ABC与平面ADC重叠”,则结论又如何?











用向量法求两点间距离的方法主要是坐标法和基向量法,


设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则dAB=|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2,


或利用|a|=a·a求解.








跟踪训练1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )


A.2B.3C.5D.7











例2 如图,在空间直角坐标系中,有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,


求点B到直线A'C的距离.














求点到直线的距离在特定的几何结构中还可以直接根据定义用平面几何知识解决或用体积法解决,但这两类解法技巧性强.用向量法就避免了这一构造技巧,但要注意在选取方向向量时要用上几何体中的已知点,然后用向量计算公式解决.





跟踪训练2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到EF的距离.











例3如图,已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.


(1)求点D到平面PEF的距离;


(2)求直线AC到平面PEF的距离.














跟踪训练3如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.


(1)求证:AB1⊥A1D;


(2)求点C到平面A1BD的距离.

















金题典例 已知边长为4的正三角形ABC,E,F分别为BC和AC的中点.PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点.


(1)求证:AE∥平面PFQ;


(2)求AE与平面PFQ间的距离.








1.本题(1)通过向量运算证明线面平行,(2)中利用线面距转化为点面距,选择向量运算来解.合理选择运算方法,设计运算程序,有利于提升学生的数学运算素养.


2.此类问题综合体现了用向量解决距离问题的便捷性.虽然有些计算较复杂,但思路很简捷,省去了很多辅助线的构造.





1.若O为坐标原点,OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为( )


A.1652B.214C.53D.532


2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )


A.66B.63C.36D.33


3.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为 .


4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点,则点A到平面EFG的距离为 .











参考答案：


知识梳理


1.解析:|AB|=(1+3)2+(1+3)2+(1+3)2 =43.


答案:A


2.判断答案:×


3.判断答案:×


4.解析: AP=(-1,-2,4),d=|AP·n||n|=103. 答案:D


5.答案:(1)√ (2)√


6. 解析:在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,与l不平行的所有直线与l距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误,故选D.


答案:D








学习过程


例1分析：本题既可利用向量模求解,也可建立坐标系利用距离公式求解.


解法一过点D和点B分别作DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,


则由已知条件可知AC=5,


∴DE=3×45=125,BF=3×45=125.


∵AE=AD2AC=95=CF,∴EF=5-2×95=75.


∵DB=DE+EF+FB,


∴|DB|2=(DE+EF+FB)2=DE2+EF2+FB2+2DE·EF+2DE·FB+2EF·FB.


∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC,


∴DE⊥平面ABC,∴DE⊥BF,即DE⊥FB,故B,D间距离是3375.





解法二 过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.


由解法一知DE=FB=125,EF=75,


∴D0,0,125,B125,75,0,


∴DB=125,75,-125,


∴|DB|=1252+752+-1252=3375.


故B,D间距离是3375.





延伸探究





解:当改变条件后,就变为了平面几何问题,如图所示,BD=EF,又由例1中结论可知BD=AC-2AE=75


跟踪训练1解析:方法一:建立如图所示直角坐标系,





则E32,-12,0,F(0,0,2).则EF=-32,12,2,|EF|=34+14+4=5.


方法二:设AC中点为G,连接GE,GF,





在Rt△FGE中,|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,∴EF=5.


答案:C


例2





解:因为AB=1,BC=2,AA'=3,所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0).


所以直线A'C的方向向量A'C=(1,2,-3).


又BC=(0,2,0),所以BC在A'C上的投影长为|BC·A'C||A'C| =414.


所以点B到直线A'C的距离d=|BC|2-|BC·A'C|A'C| | 2 =4-1614=2357.


跟踪训练2 解:以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,





则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),则EF=(1,-2,1),FA=(1,0,-2).


|EF|=12+(-2)2+12 =6,


|FA|=12+02+(-2)2 =5,


FA·EF=1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1,


FA在EF上的投影为|FA·EF||EF| =16.


所以点A到EF的距离d=|FA|2-(16) 2 =296=1746.


例3解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,





则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,12,0,F12,1,0.DE=1,12,0,


DF=12,1,0,DP=(0,0,1).


设DH⊥平面PEF,垂足为H,则


DH=xDE+yDF+zDP=x+12y,12x+y,z,(x+y+z=1)


PE=1,12,-1,PF=12,1,-1,


所以DH·PE=x+12y+1212x+y-z=54x+y-z=0.同理,DH·PF=x+54y-z=0,


又x+y+z=1,所以解得x=y=417,z=917.所以DH=317(2,2,3),所以|DH|=31717.


因此,点D到平面PEF的距离为31717.


(2)连接AC,则AC∥EF,直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离,


平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3),AE=0,12,0,所求距离为|AE·n||n|=117=1717.


反思： 用向量法求点到面的距离关键还是建系,其次是法向量的求解.本例中还要注意P,E,F,H共面这一条件,因此有x+y+z=1这一隐含条件.


跟踪训练3(1)证明:如图,取BC的中点O,连接AO.


∵△ABC为等边三角形,∴AO⊥BC.


∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,


∴AO⊥平面BCC1B1.


取B1C1的中点O1,以O为原点,OB,OO1,OA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,


则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0),


∴AB1=(1,2,-3),A1D=(-1,-1,-3).


∵AB1·A1D=-1-2+3=0,


∴AB1⊥A1D,∴AB1⊥A1D.








(2)解:设平面A1BD的法向量n=(x,y,z).


A1D=(-1,-1,-3),BD=(-2,1,0).


∴n·A1D=0,n·BD=0,∴-x-y-3z=0,-2x+y=0,∴y=2x,z=-3x.


令x=1,得n=(1,2,-3).∵C(-1,0,0),∴BC=(-2,0,0),


∴点C到平面A1BD的距离d=|BC·n||n|=|-2|22=22.


金题典例 :(1)证明:如图所示,以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.


∵AP=2,AB=BC=AC=4,又E,F分别是BC,AC的中点,





∴A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),


F(0,2,0),E(3,3,0),Q32,72,0,P(0,0,2).


∵FQ=(32,32,0),AE=(3,3,0),∴AE=2FQ.


∵AE与FQ无交点,


∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ,


∴AE∥平面PFQ.








(2)解:由(1)知,AE∥平面PFQ,


∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离.


设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z),


则n⊥PF,n⊥FQ,即n·PF=0,n·FQ=0.


又PF=(0,2,-2),∴n·PF=2y-2z=0,即y=z.


又FQ=32,32,0,∴n·FQ=32x+32y=0,即x=-3y.


令y=1,则x=-3,z=1,平面PFQ的一个法向量为n=(-3,1,1).


又QA=-32,-72,0,所求距离d=|QA·n||n|=255.





达标检测


1.解析:由题意得OP=12(OA+OB)=2,32,3,


PC=OC-OP=-2,-12,-3,则|PC|=4+14+9=532.故选D.


答案:D


2.解析:分别以PA,PB,PC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,


则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),PA=(1,0,0).


可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则d=|PA·n||n|=33.


答案:D





3.解析:因为PA=(-2,0,-1),又n与l垂直,所以点P到l的距离为|PA·n||n|=|-2+1|2=22.


答案:22


4.解析:建系如图,则A(2,0,0), E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),所以AG=(0,1,0),GE=(-2,1,1),GF=(-1,-1,2).


设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,点A到平面EFG的距离为d,


则n·GE=0,n·GF=0,所以-2x+y+z=0,-x-y+2z=0,所以x=z,y=z,令z=1,


此时n=(1,1,1),所以d=|AG·n||n|=13=33,即点A到平面EFG的距离为33.





答案:33