高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系精品一课一练

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系精品一课一练，共7页。试卷主要包含了已知点M和抛物线C，∴m=12等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．（2020·全国高二课时练）已知直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）


A．或B．


C．或D．


【答案】C


【解析】由得．∵直线与椭圆有公共点，


，解得或．故选：C


2.（2020·广东湛江高二期末）已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ）


A．B．C．D．且


【答案】D


【解析】因为直线恒过点，为使直线与椭圆恒有公共点，


只需点在椭圆上或椭圆内，所以，即.又，所以且.故选：D.


3.若椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( )


A.2B.-2C.13D.-12


【答案】D


【解析】设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,又x1236+y129=1, ①x2236+y229=1.②①-②,得(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0,即8(x1-x2)36+4(y1-y2)9=0, 所以所求直线的斜率为y1-y2x1-x2=-12.





4．（2020·重庆广益中学校高二期末）若点在椭圆上，则的最小值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】由题知椭圆的方程为，求的最小值即求点到点斜率的最小值，设过点和点的直线方程为，


联立，





知当时直线斜率取最小值，，


故当时，斜率取最小值，即的最小值为.故选：D.


5．（多选题）已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是( )


A.2+1B.22 C.2D.2-1


【答案】ABD


【解析】①△ABC为等腰直角三角形,如果C=π2,圆锥曲线E为椭圆,e=2c2a=ABCA+CB=22.


②△ABC为等腰直角三角形,如果C=π4,A或B为直角,圆锥曲线E为椭圆,e=ABCA+CB=12+1=2-1.


③△ABC为等腰直角三角形,如果C=π4,A或B为直角,圆锥曲线为双曲线,e=AB|CA-CB|=12-1=2+1.


6．（多选题）（2020·福建建瓯市芝华中学月考）已知双曲线C的标准方程为，则（ ）


A．双曲线C的离心率等于半焦距


B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线





C．双曲线C的一条渐近线被圆截得的弦长为


D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2


【答案】AD


【解析】由双曲线C方程可知，，所以离心率，故A正确；


双曲线C的渐近线方程为，而双曲线的焦点在y轴上，渐近线方程为，二者渐近线方程不同，所以B错误；圆的圆心到双曲线C的渐近线的距离为，所以渐近线被圆截得的弦长为，渐近线被圆截得的弦长也为，故C错误；


由直线与双曲线的位置关系可知直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2，故D正确．故选：AD.


二、填空题


7.（2020·北京丰台期末）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线C交于两个不同的点A，B，则 _________．


【答案】


【解析】由题意，抛物线的焦点,设，因为直线的倾斜角为，所以斜率为，则直线方程为，联立方程组，整理得，可得，则，由抛物线的焦点弦的性质，可得.


8．（2020·广东汕头高二期末）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为 .


【答案】2b2a


【解析】设一个焦点为F(c,0),其中c2=a2+b2,过F且垂直于x轴的弦为AB,则A(c,y0),∵A(c,y0)在双曲线上,∴c2a2-y02b2=1.∴y0=±bc2a2-1=±b2a.∴|AB|=2|y0|=2b2a.


9.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k= .


【答案】2


【解析】设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).





联立x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.


而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1), MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).


∵∠AMB=90°,∴MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5


=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=12.∴k=1m=2.


10.（2020·山西师大附中）已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支，两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为______.


【答案】


【解析】设，，直线的方程为，代入双曲线方程，化简为，，，那么，，，设右焦点坐标，由条件可知，即，


，，所以，即，，代入后整理为


，两边同时除以后可得，即，因为，所以，即.


三、解答题





11.在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.


【解析】由已知条件知直线l的方程为y=kx+2,


代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1,


整理得12+k2x2+22kx+1=0,


直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22,


所以k的取值范围为-∞,-22∪22,+∞.


12．设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.


(1)求l的方程;


(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.


【解析】 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).


由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.


Δ=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.


所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,


解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.


(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.


设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则


y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.


解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为


(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.