高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课后复习题

课时跟踪检测（二十九）  直线与圆锥曲线的位置关系

 [A级　基础巩固]

1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　  B．1或2

C．2     D．0

解析：选C　因为直线过定点(3，－1)且＋＜1，

所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．

2．在抛物线y＝x2上，到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标为(　　)

A．     B．

C．(1，1)     D．(2，4)

解析：选C　设P(x，y)是到直线2x－y－4＝0的距离最小的点，由点到直线的距离公式得d＝，

又∵P(x，y)在抛物线上，∴y＝x2，

∴d＝＝|(x－1)2＋3|.

∵当x＝1时，y＝1，dmin＝，∴P(1，1).

3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．∪

解析：选C　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，得k∈.

4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　)

A．6     B．15

C．20     D．12

解析：选D　由题意知，S△ABF＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.

5．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2     B．2

C．2     D．2

解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2).

由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.

由得x2－4x＋1＝0，

∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.

∴|AB|＝

＝＝＝2.

6．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．

解析：如图所示，设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0).

由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，

故即

代入椭圆方程，可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.

答案：x2＋y2＝1

7．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．

解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)，联立方程，得得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝.

答案：

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．

解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，

即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.

答案：[2，＋∞)

9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.

则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，

解得－＜m＜.

设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

根据弦长公式，得

·＝，

解得m＝0.

因此，所求直线的方程为y＝x.

10．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.

(1)求C1的离心率；

(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．

解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，

其中c＝.

不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.

由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)，＝.

所以C1的离心率为.

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.

设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①

由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，

即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.

所以C1的标准方程为＋＝1，

C2的标准方程为y2＝12x.

[B级　综合运用]

11．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A．－＝1     B．－＝1

C．－＝1     D．－＝1

解析：选B　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

两式作差得＝＝＝，

又AB的斜率是＝1，

所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，

所以双曲线标准方程是－＝1.

12．(多选)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是(　　)

A．抛物线的方程是x2＝2y

B．抛物线的准线是y＝－1

C．sin ∠QMN的最小值是

D．线段AB的最小值是6

解析：选BC　抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，

得抛物线的准线方程为y＝－，

点E(t，2)到焦点F的距离等于3，

可得2＋＝3，解得p＝2，

则抛物线C的方程为x2＝4y，所以A不正确；

抛物线的准线方程：y＝－1，所以B正确；

由题知直线l的斜率存在，F(0，1)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线l的方程为y＝kx＋1，

由消去y得x2－4kx－4＝0，

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，

所以AB的中点Q的坐标为(2k，2k2＋1)，

|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，

所以圆Q的半径为r＝2k2＋2，

在等腰△QMN中，

sin ∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，

当且仅当k＝0时取等号．

所以sin ∠QMN的最小值为.所以C正确；

线段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4.所以D不正确．

13．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)

A．1     B．－1

C．－     D．以上都不对

解析：选C　设＝k，则y＝k(x－2).

由消去y，整理得

(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，

Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，

解得k＝±，∴kmin＝－.故选C.

14．双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？

解：(1)设双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝.

∴双曲线的方程是3x2－y2＝1.

(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.

由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±.

设A(x1，y1)，B(x2，y2).

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.

∴x1x2＋y1y2＝0.

又∵x1＋x2＝，x1x2＝，

∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，

∴＋1＝0，解得k＝±1.

故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点．

[C级　拓展探究]

15．已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，交抛物线C于点N.

(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k，使得·＝0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解：(1)证明：法一：如图所示，设A(x1，2x)，B(x2，2x).

把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－1，

∴xN＝xM＝＝，

∴N点的坐标为.

设抛物线在点N处的切线l的方程为

y－＝m.

将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0.

∵直线l与抛物线C相切，

∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，

∴m＝k，即l∥AB.

法二：设A(x1，2x)，B(x2，2x).

把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－1，

∴xN＝xM＝＝，

∴N点的坐标为.

∵y＝2x2，∴y′＝4x，

∴抛物线在点N处的切线l的斜率为4×＝k，

∴l∥AB.

(2)假设存在实数k，使得·＝0，则NA⊥NB，

又∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.

由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2.

∵MN⊥x轴，

∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.

又∵|AB|＝·|x1－x2|

＝·

＝·

＝ ·，

∴＝ ·，解得k＝±2，

即存在k＝±2，使得·＝0.