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人教版 (2019)必修 第二册4 生活中的圆周运动课后复习题
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这是一份人教版 (2019)必修 第二册4 生活中的圆周运动课后复习题，共15页。试卷主要包含了生活中的圆周运动，火车在弯道上的运动特点，向心力的来源，离心运动等内容，欢迎下载使用。
【学习素养·明目标】 物理观念：1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.2.了解航天器中的失重现象及原因.3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害．
科学思维：1.培养独立观察、分析问题、解决问题的能力.2.通过向心力在具体问题中的应用，培养运用物理知识解决实际问题的能力．
一、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
2．向心力的来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损．
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．
二、拱形桥
凸形桥和凹形桥的比较
三、航天器中的失重现象和离心运动
1．航天器在近地轨道的运动
(1)对航天器，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足的关系为Mg＝eq \f(Mv2,r).
(2)对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝eq \f(mv2,r)，由以上两式可得FN＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零．
(3)航天器内的任何物体之间均没有压力．
2．对失重现象的认识
航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力．正因为受到地球引力的作用，才使航天器连同其中的航天员做匀速圆周运动．
3．离心运动
(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．
(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)
(2)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的．(×)
(3)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力．(√)
(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态．(√)
(5)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心．(×)
2．关于离心运动，下列说法不正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化可能将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做近心运动
C．物体不受外力，可能做匀速圆周运动
D．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小将做离心运动
C [当合力大于需要的向心力时，物体要做向心运动，合力小于所需要的向心力时，物体要做离心运动，所以向心力的数值发生变化也可能做向心运动或离心运动，故A、B正确；物体不受外力时，将处于平衡状态，即匀速或静止状态，不可能做匀速圆周运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小时物体就要远离圆心，此时物体做的就是离心运动，故D正确．]
3.如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
A [汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝meq \f(v2,r)，由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，选项A正确．]
[观察探究]
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：
重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
(3)火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：(1)火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
(2)火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力．
(3)火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力．
[探究归纳]
1．转弯轨道特点
(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内．
(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力．
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝meq \f(v\\al(2,0),R)，如图所示，则v0＝eq \r(gRtan θ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈eq \f(h,L))，v0为转弯处的规定速度．
此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
(2)若火车行驶速度v0＞eq \r(gRtan θ)，外轨对轮缘有侧压力．
(3)若火车行驶速度v0＜eq \r(gRtan θ)，内轨对轮缘有侧压力．
【例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
思路点拨：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力．
②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力．
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝meq \f(v2,r)＝eq \f(105×202,400) N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝meq \f(v2,r)
由此可得tan θ＝eq \f(v2,rg)＝0.1.
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？
提示：速率变为原来的eq \f(3,2)倍，则由mgtan θ＝meq \f(v2,R)，可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900 m，
若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225.
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
1．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于eq \r(gRtan θ)，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于eq \f(mg,cs θ)
D．这时铁轨对火车的支持力大于eq \f(mg,cs θ)
C [由牛顿第二定律F合＝meq \f(v2,R)，解得F合＝mgtan θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，FNcs θ＝mg，则FN＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确，A、B、D错误．]
[观察探究]
如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动．
甲 乙
(1)如图甲，汽车行驶到拱形桥的桥顶时：
①什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大？
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
提示：(1)①当汽车行驶到拱形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg－FN＝meq \f(v2,R)；此时车对桥面的压力FN′＝mg－meq \f(v2,R)，即车对桥面的压力小于车的重力．
②由F′N＝mg－meq \f(v2,R)可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg＝meq \f(v\\al(2,m),R)，得vm＝eq \r(gR)，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面．
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，重力与支持力的合力提供向心力，即FN－mg＝meq \f(v2,R)；此时车对桥面的压力F′N＝mg＋meq \f(v2,R)，即车对桥面的压力大于车的重力．
[探究归纳]
1．汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图甲所示．
由牛顿第二定律得：G－FN＝meq \f(v2,r)，则FN＝G－meq \f(v2,r).
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq \f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
(1)当0≤v
(2)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0.
(3)当v>eq \r(gr)时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
2．汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝meq \f(v2,r)，故FN＝G＋meq \f(v2,r).由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋meq \f(v2,r)，大于汽车的重力．
【例2】 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N(g取10 m/s2)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
[解析] (1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝meq \f(v2,r)
即v＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(FN1,m)－g))r)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.0×105,2.0×104)－10))×60) m/s
＝10eq \r(3) m/s＜eq \r(gr)＝10eq \r(6) m/s
故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10eq \r(3) m/s.
(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝meq \f(v2,r)
则FN2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g－\f(v2,r)))＝2.0×104×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(300,60))) N＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105 N.
[答案] (1)10eq \r(3) m/s (2)1.0×105 N
2．如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
A．L1＞L2 B．L1＝L2
C．L1＜L2 D．前三种情况均有可能
A [当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡得：mg＝k(L1－L0)，解得L1＝eq \f(mg,k)＋L0①；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得mg－k(L2－L0)＝meq \f(v2,R)，解得L2＝eq \f(mg,k)＋L0－eq \f(mv2,kR)②，①②两式比较可得L1＞L2，A正确．]
[观察探究]
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)．
甲 乙
(1)链球飞出后受几个力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示：(1)重力和空气阻力．
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出．
(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力．
[探究归纳]
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．
2．离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)或mrω2))的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2(或meq \f(v2,r))即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若Fn＞mrω2(或meq \f(v2,r))即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若Fn＜mrω2(或meq \f(v2,r))即“提供”不足，物体做离心运动．
【例3】 如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B [摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]
离心现象的三点注意
(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式．
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心．
(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象．
3．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
A [若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．]
1．关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动
D [物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，只有当提供的向心力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在．由以上分析可知D正确．]
2．(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动．当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压．现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差
B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径
D．增大弯道半径
AC [当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtan θ，而Fn＝meq \f(v2,R)，故v＝eq \r(gRtan θ).若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误．]
3．俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )
A．A点，B点 B．B点，C点
C．B点，A点 D．D点，C点
C [战车在B点时，由FN－mg＝meq \f(v2,R)知，FN＝mg＋meq \f(v2,R)，则FN>mg，故对路面的压力最大；在C和A点时，由mg－FN＝meq \f(v2,R)知，FN＝mg－meq \f(v2,R)，则FNRA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.]
4.城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于eq \r(gR)
A [由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，解得FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，FN≥0解得v1≤eq \r(gR)，D错误．]
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力分析
向心力
Fn＝mg－FN＝meq \f(v2,r)
Fn＝FN－mg＝meq \f(v2,r)
对桥的压力
FN′＝mg－meq \f(v2,r)
FN′＝mg＋meq \f(v2,r)
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
火车转弯问题
汽车过桥问题
离心运动问题
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.火车转弯处外轨略高于内轨，使得火车所受支持力和重力的合力提供向心力．当火车以合适的速率通过弯道时，可以避免火车轮缘对内、外轨的挤压磨损．
2．汽车过拱形桥时，在凸形桥的桥顶上，汽车对桥的压力小于汽车重力，汽车在桥顶的安全行驶速度小于eq \r(gR)；汽车在凹形桥的最低点处，汽车对桥的压力大于汽车的重力．
3．绕地球做匀速圆周运动的航天器中，宇航员具有指向地心的向心加速度，处于完全失重状态．
4．做圆周运动的物体，当合外力突然消失或不足以提供向心力时，物体将做离心运动；当合外力突然大于所需向心力时，物体将做近心运动.
【学习素养·明目标】 物理观念：1.会分析具体圆周运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题.2.了解航天器中的失重现象及原因.3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害．
科学思维：1.培养独立观察、分析问题、解决问题的能力.2.通过向心力在具体问题中的应用，培养运用物理知识解决实际问题的能力．
一、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
2．向心力的来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损．
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．
二、拱形桥
凸形桥和凹形桥的比较
三、航天器中的失重现象和离心运动
1．航天器在近地轨道的运动
(1)对航天器，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足的关系为Mg＝eq \f(Mv2,r).
(2)对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝eq \f(mv2,r)，由以上两式可得FN＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零．
(3)航天器内的任何物体之间均没有压力．
2．对失重现象的认识
航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力．正因为受到地球引力的作用，才使航天器连同其中的航天员做匀速圆周运动．
3．离心运动
(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．
(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)
(2)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的．(×)
(3)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力．(√)
(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态．(√)
(5)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心．(×)
2．关于离心运动，下列说法不正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化可能将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做近心运动
C．物体不受外力，可能做匀速圆周运动
D．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小将做离心运动
C [当合力大于需要的向心力时，物体要做向心运动，合力小于所需要的向心力时，物体要做离心运动，所以向心力的数值发生变化也可能做向心运动或离心运动，故A、B正确；物体不受外力时，将处于平衡状态，即匀速或静止状态，不可能做匀速圆周运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小时物体就要远离圆心，此时物体做的就是离心运动，故D正确．]
3.如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
A [汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝meq \f(v2,r)，由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，选项A正确．]
[观察探究]
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，请思考下列问题：
重力G与支持力FN的合力F是使火车转弯的向心力
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？运动特点如何？
(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
(3)火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？
提示：(1)火车转弯处，外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车转弯处虽然外轨高于内轨，但火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．
(2)火车以规定的速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力．
(3)火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力．
[探究归纳]
1．转弯轨道特点
(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内．
(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力．
2．转弯轨道受力与火车速度的关系
(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝meq \f(v\\al(2,0),R)，如图所示，则v0＝eq \r(gRtan θ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈eq \f(h,L))，v0为转弯处的规定速度．
此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
(2)若火车行驶速度v0＞eq \r(gRtan θ)，外轨对轮缘有侧压力．
(3)若火车行驶速度v0＜eq \r(gRtan θ)，内轨对轮缘有侧压力．
【例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
思路点拨：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力．
②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力．
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝meq \f(v2,r)＝eq \f(105×202,400) N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝meq \f(v2,r)
由此可得tan θ＝eq \f(v2,rg)＝0.1.
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？
提示：速率变为原来的eq \f(3,2)倍，则由mgtan θ＝meq \f(v2,R)，可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900 m，
若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225.
火车转弯问题的两点注意
(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．
1．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于eq \r(gRtan θ)，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于eq \f(mg,cs θ)
D．这时铁轨对火车的支持力大于eq \f(mg,cs θ)
C [由牛顿第二定律F合＝meq \f(v2,R)，解得F合＝mgtan θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，FNcs θ＝mg，则FN＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确，A、B、D错误．]
[观察探究]
如图甲、乙为汽车在拱形桥、凹形桥上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动．
甲 乙
(1)如图甲，汽车行驶到拱形桥的桥顶时：
①什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大？
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
提示：(1)①当汽车行驶到拱形桥的桥顶时，重力与支持力的合力提供向心力，即mg－FN＝meq \f(v2,R)；此时车对桥面的压力FN′＝mg－meq \f(v2,R)，即车对桥面的压力小于车的重力．
②由F′N＝mg－meq \f(v2,R)可知，当汽车的速度增大时，汽车对桥面的压力减小，当汽车对桥面的压力为零时，汽车的重力提供向心力，此时汽车的速度达到最大，由mg＝meq \f(v\\al(2,m),R)，得vm＝eq \r(gR)，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面．
(2)当汽车行驶到凹形桥的最底端时，重力与支持力的合力提供向心力，即FN－mg＝meq \f(v2,R)；此时车对桥面的压力F′N＝mg＋meq \f(v2,R)，即车对桥面的压力大于车的重力．
[探究归纳]
1．汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图甲所示．
由牛顿第二定律得：G－FN＝meq \f(v2,r)，则FN＝G－meq \f(v2,r).
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－meq \f(v2,r)，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．
(1)当0≤v
(2)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0.
(3)当v>eq \r(gr)时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．
2．汽车过凹形桥
如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝meq \f(v2,r)，故FN＝G＋meq \f(v2,r).由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋meq \f(v2,r)，大于汽车的重力．
【例2】 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N(g取10 m/s2)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
[解析] (1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝meq \f(v2,r)
即v＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(FN1,m)－g))r)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3.0×105,2.0×104)－10))×60) m/s
＝10eq \r(3) m/s＜eq \r(gr)＝10eq \r(6) m/s
故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10eq \r(3) m/s.
(2)汽车在凸形桥面的最高点时，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝meq \f(v2,r)
则FN2＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g－\f(v2,r)))＝2.0×104×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(300,60))) N＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105 N.
[答案] (1)10eq \r(3) m/s (2)1.0×105 N
2．如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
A．L1＞L2 B．L1＝L2
C．L1＜L2 D．前三种情况均有可能
A [当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡得：mg＝k(L1－L0)，解得L1＝eq \f(mg,k)＋L0①；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得mg－k(L2－L0)＝meq \f(v2,R)，解得L2＝eq \f(mg,k)＋L0－eq \f(mv2,kR)②，①②两式比较可得L1＞L2，A正确．]
[观察探究]
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)．
甲 乙
(1)链球飞出后受几个力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示：(1)重力和空气阻力．
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出．
(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力．
[探究归纳]
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．
2．离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\f(v2,r)或mrω2))的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2(或meq \f(v2,r))即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．
(2)若Fn＞mrω2(或meq \f(v2,r))即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．
(3)若Fn＜mrω2(或meq \f(v2,r))即“提供”不足，物体做离心运动．
【例3】 如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
B [摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]
离心现象的三点注意
(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式．
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心．
(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象．
3．如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
A [若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．]
1．关于离心运动，下列说法中正确的是( )
A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动
D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动
D [物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，只有当提供的向心力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在．由以上分析可知D正确．]
2．(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动．当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压．现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差
B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径
D．增大弯道半径
AC [当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtan θ，而Fn＝meq \f(v2,R)，故v＝eq \r(gRtan θ).若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误．]
3．俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )
A．A点，B点 B．B点，C点
C．B点，A点 D．D点，C点
C [战车在B点时，由FN－mg＝meq \f(v2,R)知，FN＝mg＋meq \f(v2,R)，则FN>mg，故对路面的压力最大；在C和A点时，由mg－FN＝meq \f(v2,R)知，FN＝mg－meq \f(v2,R)，则FN
4.城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于eq \r(gR)
A [由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，解得FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－meq \f(v\\al(2,1),R)只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝meq \f(v\\al(2,1),R)，FN≥0解得v1≤eq \r(gR)，D错误．]
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力分析
向心力
Fn＝mg－FN＝meq \f(v2,r)
Fn＝FN－mg＝meq \f(v2,r)
对桥的压力
FN′＝mg－meq \f(v2,r)
FN′＝mg＋meq \f(v2,r)
结论
汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小
汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
火车转弯问题
汽车过桥问题
离心运动问题
课 堂 小 结
知 识 脉 络
1.火车转弯处外轨略高于内轨，使得火车所受支持力和重力的合力提供向心力．当火车以合适的速率通过弯道时，可以避免火车轮缘对内、外轨的挤压磨损．
2．汽车过拱形桥时，在凸形桥的桥顶上，汽车对桥的压力小于汽车重力，汽车在桥顶的安全行驶速度小于eq \r(gR)；汽车在凹形桥的最低点处，汽车对桥的压力大于汽车的重力．
3．绕地球做匀速圆周运动的航天器中，宇航员具有指向地心的向心加速度，处于完全失重状态．
4．做圆周运动的物体，当合外力突然消失或不足以提供向心力时，物体将做离心运动；当合外力突然大于所需向心力时，物体将做近心运动.
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